PDF《数学（理工类）参考解答》

13 分. 如图,以A为原点,分别以 AB ??? ? , AC ???? , AP ??? ? 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意 A C N D B E M P z y x 数学(天津卷・理工)答案 第3页(共6页) 可得 ? ?

0 0

0 A ,,

, ? ?

2 0

0 B ,,

, ? ?

0 4

0 C ,,

, ? ?

0 0

4 P ,,

, ? ?

0 0

2 D ,,

, ? ?

0 2

2 E ,,

, ? ?

0 0

1 M ,,

, ? ?

1 2

0 N ,,

. (Ⅰ) 证明: ? ?

0 2

0 DE ? ???? ,,

, ? ?

2 0

2 DB ? ? ??? ? ,,

. 设??xyz?n,,

为平面 BDE 的法向量, 则00DE DB ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ???? ??? ? , , 即20220yxz??????,.不妨设

1 z ? ,可得 ? ?

1 0

1 ? n ,,

.又??121MN ? ? ???? ? ,,

,可得

0 MN ? ? n ???? ? .因为 MN ? 平面 BDE ,所以 MN∥平面 BDE . (Ⅱ) 解: 易知 ? ?

1 1

0 0 ? n ,,

为平面CEM 的一个法向量. 设??2xyz?n,,

为平面 EMN 的法向量, 则2200EM MN ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ???? ? ???? ? , . 因为 ? ?

0 2

1 EM ? ? ? ???? ? , , , ? ?

1 2

1 MN ? ? ???? ? ,,

, 所以

2 0

2 0 y z x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? , . 不妨设

1 y ? ,可得 ? ?

2 4

1 2 ? ? ? n ,,

. 因此有

1 2

1 2

1 2

4 cos

21 ? ? ? ? n n n n n n , ,于是

1 2

105 sin

21 ? n n , . 所以,二面角C EM N ? ? 的正弦值为

105 21 . (Ⅲ) 解: 依题意, 设AH h ? (

0 4 h ≤ ≤ ) , 则??00Hh,,

, 进而可得 ? ?

1 2 NH h ? ? ? ???? ? , , , ? ?

2 2

2 BE ? ? ??? ? ,,

.由已知,得2227cos

21 5

2 3 NH BE h NH BE NH BE h ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? , ,整理得

2 10

21 8

0 h h ? ? ? ,解得

8 5 h ? ,或12h?.所以,线段 AH 的长为

8 5 或12.(18)本小题主要考查等差数列、等比数列及其前 n 项和公式等基础知识.考查数列求 和的基本方法和运算求解能力.满分

13 分. (Ⅰ) 解: 设等差数列? ? n a 的公差为 d , 等比数列? ? n b 的公比为 q . 由已知

2 3

12 b b ? ? , 得??2112 b q q ? ? , 而12b?,所以

2 6

0 q q ? ? ? . 又因为

0 q ? , 解得

2 q ? . 所以, 2n n b ? . 数学(天津卷・理工)答案 第4页(共6页) 由3412baa??,可得

1 3

8 d a ? ? ①.由11

4 11 S b ? ,可得

1 5

16 a d ? ? ②,联立①②, 解得

1 1 a ? ,

3 d ? ,由此可得

3 2 n a n ? ? . 所以,数列? ? n a 的通项公式为

3 2 n a n ? ? ,数列? ? n b 的通项公式为 2n n b ? . (Ⅱ) 解:设数列? ?

2 2

1 n n a b ? 的前 n 项和为 n T ,由262nan??,12124n n b ? ? ? ? ,有??221314n n n a b n ? ? ? ? ,故??23245484314n n T n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ?

2 3

4 1

4 2

4 5

4 8

4 3

4 4

3 1

4 n n n T n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 上述两式相减,得????????2311132434343431412

1 4

4 3

1 4

1 4

3 2

4 8. n n n n n n T n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得1328433nnnT?????.所以,数列? ?

2 2

1 n n a b ? 的前 n 项和为

1 3

2 8

4 3

3 n n ? ? ? ? . (19)本小题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考 查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能 力.满分

14 分. (Ⅰ)解:设F的坐标为? ?

0 c ? , .依题意,

1 2 c a ? ,

2 p a ? ,

1 2 a c ? ? ,解得

1 a ? ,

1 2 c ? ,

2 p ? ,于是

2 2

2 3

4 b a c ? ? ? . 所以,椭圆的方程为

2 2

4 1

3 y x ? ? ,抛物线的方程为

2 4 y x ? . (Ⅱ)解:设直线 AP 的方程为

1 x my ? ? (

0 m ? ) ,与直线l 的方程