PDF《双矩形浮子波能装置辐射问题的解析方法》

第31 卷第6期海洋学报Vol 31, No

6 2009 年11 月ACTA OCEANOLOGICA SINICA November

2009 双矩形浮子波能装置辐射问题的解析方法 王文胜1, 2,

3 , 游亚戈1,

2 , 盛松伟1,

2 , 吴必军1,

2 (

1 中国科学院 广州能源研究所, 广东 广州 510640;

2 中国科学院 广州能源研究所 可再生能源与天然气水合物 中国科学院重点实验室, 广东 广州 510640;

3 中国科学院 研究生院, 北京 100049) 收稿日期:

2009 03 06;

修订日期:

2009 09 18.

基金项目: 中国- 丹麦高效 MW 级波能发电装置国际科技合 作计划项目( 2007DFA60490) ;

国家 八六三 计划项目( 2006AA05Z426) ;

国家 自 然科学基金项目( 50679078) . 作者简介: 王文胜 ( 1984! ) , 男, 湖北省蕲春市人, 硕士研究生, 研究方向为流体机械及工程.E mail: w w s201@ 163. com 摘要: 在有限水深下

1 个漂浮在水中的矩形浮子和

1 个淹没在水下的浮子构成双矩形波能装置模 型.基于特征函数展开法求解了线性入射波作用下双矩形浮子波能装置的辐射问题, 得出了双矩 形浮子辐射速度势的

1 种新解析式, 然后根据Haskind 关系由入射势和辐射势来计算波浪激励力, 并且采用数值方法对相同算例进行了计算, 得到了完全一致的结果, 从而证明这种方法是正确的. 研究了在不同工况下的波浪激励力和系统的水动力学系数变化的规律. 关键词: 波能装置;

水动力系数;

波浪力;

解析方法 中图分类号: O353

2 文献标志码: A 文章编号:

0253 4193( 2009)

06 0151

10 1 引言 一个漂浮在水中的浮子同

1 个淹没在水中的 浮子, 由1根弹性塑料圆管相连构成了

1 个双浮 子波能吸收装置, 一般说来, 为了使问题简化, 可 将波能装置简化为圆柱型浮体或矩形浮体.本 文将这种浮体简化成矩形浮体装置, 并且分析和 计算了其波浪激励力和水动力学系数在不同尺 寸下的影响规律.海上养殖业的水产品装置可 以简化为矩形浮体装置, 它比如网箱养鱼以及其 他一些珍贵的海产品养殖, 还可应用于波能发电 装置, 通过软管积蓄波浪能来推动与之相连的液 压泵发电. 目前关于浮体在常水深无限域或半无限域 运动的研究成果很多, 研究方法大致上可分为两 大部分, 一部分是解析方法[

1 !

1 0] , 另一部分是数 值方法[

11 ! 17] .对于矩形浮体采用解析方法进行 研究: Black 等在 [

1 ]

1971 年对一个小振幅运动的 水平放置的矩形浮体运用 Schw inger 变分方程求 表面波的辐射势, 并且计算了辐射势的振幅和波 浪力;

Drimer 等[2] 在1992 年对

1 个有限深的矩 形漂浮模型的防波堤提出了

1 种简明的解析解 形式, 并且计算出了水动力学系数、 波浪激励力 和反射、 透射系数;

Lee[

3 ] 在1995 年得出了

1 个 矩形浮子作垂荡时的解析解, 并且通过这个解析 式得出了入射波、 附加质量和阻尼系数, 研究了 淹没情况下的水动力影响;

Zheng 等[4] 在2005 年 研究了

1 个淹没矩形浮子在有限深线性入射波 作用下求解辐射势和绕射势的问题, 用解析方法 和BEM 方法对算例进行了验证, 然后分析了浮 子淹没深度和浮子宽度对水动力特性的影响. 对于矩形浮体一些研究者采用数值方法作了许 多深入的研究: H sw 等[11] 在1997 年运用线性波 理论和边界元方法对一侧墙的自由面上振荡的 矩形浮体求出了它的水动力学系数, 并且找出了 影响阻尼系数的原因, 随后他们又在

1999 年用 边界元方法研究了

1 个淹没的水平放置的平台 和1个淹没的可渗透的防波堤的散射情况[ 12] ;

Sannasiraj 等[

1 3] 在1995 年研究了斜向波作用与 自由漂浮的长矩形体的相互作用, 并且在

1998 年采用两维有限边界模型来模拟来向波作用下 浮筒式的漂浮体的运动模态[

14 ] ;

在2000 年San nasiraj 等[15 ] 进一步采用有限边界元方法研究了 在不用角度下的斜向波作用于多重矩形结构物 的绕射和辐射情况. 本文采用解析方法研究

1 个漂浮在水中的矩 形浮体和

1 个沉在水中的浮体组成的双矩形浮体 波能装置的水动力学系数和波浪激励力.浮体摇 荡运动有纵荡( surge) 、 垂荡( heave) 、 横荡( sw ay) 、 横摇( rol1) 、 首摇( yaw ) 、 纵摇( pitch)

6 种运动模 态, 本文仅考虑双矩形浮体在垂荡、 横荡和横摇情 况下的运动模态.在所有这些研究中都假设了流 体不可压、 流动无旋、 小振幅波的条件和常水深、 平底地形条件.本文通过特征函数展开法对双矩 形浮体波能装置的辐射问题进行了研究, 推导了 水动力系数的表达式和激励力表达式, 并且在相 同条件下用边界元方法求得的激励力进行了验 证, 研究了不同模型下的水动力学系数的影响规 律, 得出了一些有意义的结果.

2 数学模型 在垂向上形状相同的

2 个矩形浮体被放置在 无旋、 不可压缩的流体中, 中间由

1 根弹性软管相 连, 这样就构成

1 个双矩形波能装置的简化模型. 我们用浮体

1 表示部分淹没在自由液面下的浮 体, 用浮体

2 表示完全淹没于流体中的浮体.坐 标原点定义在自由液面上, z 轴垂直向上为正, x 轴向右为正, 我们假设在 y 方向浮体为无限长, 所 以对于作模态运动的浮子只需要考虑它作垂荡、 横荡和横摇三种模态.浮体的几何特征和坐标位 置如图

1 所示. 由于考虑的时间因子可在研究中独立处理, 因 此在假设流体不可压、 流动无旋时, 空间速度势 满足拉普拉斯方程.对于本文问题, 二维拉普拉斯 控制方程为

2 x

2 +

2 z

2 = 0. ( 1) 本文考虑的是正向线性波作用, 我们可以将速 度势 进行分解: = i + d + ?

3 L =

1 ( J, L ) r , ( 2) 图1装置的几何特征 式中, i 为入射波速度势;

d 为物体存在且不动时 引起的绕射势;

r ( J, L ) 为J浮体做L 运动模态时引 起的辐射势.假定在水深为 h1 的水域中传播的正 向入射波的振幅为 A , 圆频率为 , 则其复速度势可 表示为 i = igA cosh[ k( z + h1 )] cosh( kh1 ) exp(ikx ), (3) 式中, i= - 1;

g 为重力加速度;

k 为波数, 由色散 关系 ktanh(kh1 )=

2 / g 确定.

3 辐射势的求解 假定流体不可压、 流动无旋且浮体仅作微幅运 动, 其垂荡、 横荡和横摇的振幅均 为A(J, L ) r , 则由物 体运动产生的辐射速度势 ( J, L ) r 可表示为 r ( J, L ) = - i A ( J, L ) r ! ( J, L ) r ( x, z), (4) 把上式代入式( 1) 得到如下的控制方程:

2 ! ( J, L ) r x

2 +

2 ! ( J, L ) r z

2 = 0. (5) 要得到式( 5) 的惟一解, 还必须给定适当的边界条 件, 这些边界条件为 ! ( J , L) r z -

2 g !( J, L ) r =

0 (z = 0, | x | # a), (6) ! ( J , L) r z =

0 ( z = - h1 ) , (7) ! r ( J, L ) z = ? J,

1 [ ? 1, L - ( x - x0 ) ? 3, L ] (z = - d1 , | x | ? a), (8) ! ( J , L) r x = ? J ,

1 [ ? 2, L - (z - z0 )? 3, L ] (- d1 ? z ? 0, x = % a), (9)

152 海洋学报

31 卷!( J, L ) r z = ? J,

2 [ ? 1, L - ( x - x0 ) ? 3, L ] (z = - e1 , | x | ? a) , (10) ! ( J, L ) r z = ? J,

2 [ ? 1, L - ( x - x0 ) ? 3, L ] (z = - e2 , | x | ? a) , (11) !( J, L ) r x = ? J,

2 [ ? 2, L - ( z - z0 ) ? 3, L ] (- e2 ? z ? - e1 , x = % a), (12) ! ( J , L) r | x| &

时为有限的外传波. ( 13) 注意在式( 8) 和( 9) 中假定横摇支点坐标取为 ( x0 , z0 ) , 并且通过引入 ?函数以方便地表达边界 条件, ?函数的定义为 ? J , L =

0 J ? L ,

1 J = L . 这里采用特征函数展开法来求解上面的定解 问题.首先将流体计算域划分成 (, ), ?和 +四 个子域( 见图 1) , 这四个子域的辐射势分别记为 ! ( J , L) r1 , ! ( J, L ) r2 , ! ( J , L ) r3 , ! ( J, L) r4 .为了得到未知辐射势的 表达式, 对每个子域采用分离变量法, 得到的表达 式为正交函数的无穷级数, 它满足除子域交接处 x= % a外的所有边界条件, 然后通过在 x= % a 处 给出的压力和速度连续条件来确定级数中的系 数.

3 1 辐射速度势的级数表达式 采用分离变量法可以得到每个子域中用正交级 数表示的空间速度势. 在图

1 的(区辐射速度势的表达式为 ! ( J, L ) r1 = ? &

n=

2 A ( J , L) 1n cos # n (z + h1 ) e - # n ( x- a) , (14) 式中, A1 n ( J, L ) 为待定子数;

J 表示物体

1 或2;

L 等于 1,

2 和3, 分别表示运动模态, 包括垂荡、 横荡和 横摇. 在)区辐射速度势的表达式( 满足方程( 8) , ( 7) , ( 5) 的解) 为!(J, L ) r2 = ! ( J , L) r2p + A ( J, L )

21 x + B( J , L)

21 + ? &

n=

2 A ( J, L ) 2n ea n ( x+ a) + B( J, L )

2 n e- a n ( x- a) , cos an (z + e1 ) , (15) 式中, A( J , L) 2n 和B(J, L ) 2n 为待定系数;

! ( J, L ) r2p 为 )区对应 于第 L 种运动模式的辐射势的特解, 表达式为 ! ( J,L ) r2p = (z + e1)2 - x2 2h2 ? J,1 - (z + d1 )2 - x2 2h2 ? J,2 L = 1,

0 L = 2, - ( z + e1 )

2 (x - x0 ) - ( x - x0 )3 /

3 2h2 ? J,

1 + (z + d1 )

2 ( x - x0 ) - (x - x0 )

3 /

3 2h2 ? J,

2 L = 3. (16) 在 ?区辐射速度势的表达式为 ! ( J, L ) r3 = ! ( J , L) r3p + A ( J , L)

31 x + B ( J , L)

31 + ? &

n=

2 [ A ( J, L ) 3n e ? n ( x+ a) + B ( J, L ) 3n e - ? n ( x- a) ] , cos[ ? n (z + h1 ) ] , ( 17) ! ( J, L ) r3p = ( z + h1 )

2 - x

2 2h3 ? J,

2 L = 1,

0 L = 2, - (z + h1 )

2 (x - x0 ) - (x - x0 )3 /

3 2h3 ? J,

2 L = 3. 在 +区辐射速度势的表达式为 ! ( J, L ) r4 = ? &

n=

1 [ A( J, L )

4 n cos[ # n (z + h1 ) ] e# n( x+ a) , (18) 式中, A ( J, L ) 4n 为待定系数;

# n , % n 和?n 为特征值, 其表 达式分别为 #

1 = - ik, k tanh(kh1 ) =

2 / g n = 1, (19) # n tan(# nh

1 ) = -

2 / g n = 2, 3, ? (20) % n = (n - 1)&

/ h2 , ? n = (n - 1)&

/ h3 n = 1, 2, 3,21) 前面给出的每个子域的速度势满足除 x= % a 处外的所有边界条件.下面的问题就是确定未知系 数A(J, L ) 1n , A( J , L) 2n , A( J, L )

3 n , A ( J, L ) 4n 和B ( J, L ) 2n B ( J, L ) 3n (n = 1, 2, 3,对于每个物体的不同模态通过在 x= % a 处的压力和法向速度连续性条件以及特征 函数匹配法, 在上述连续性条件的两边同时乘上适 当的特征函数, 然后在所考虑的区间进行积分, 使上 面的连续性条件在 z 向上得到满足, 其匹配也是在 x= % a 处进行的.为了 得到系 数A(J, L ) 1n , A ( J, L ) 2n ,

153 6 期 王文胜等: 双矩形浮子波能装置辐射问题的解析方法 A( J , L) 3n , A ( J, L ) 4n , B( J , L) 2n 和B(J,L) 3n 的具体数值解, 我们取 无穷级数的前 N 项就可以得到 6N 个复数方程以 及同样数目的未知系数, 将这些方程整理为矩阵形 式, 辐射问题的方程可表示为 式中, SX r = F( J , L) r , (22) X r = A ( J, L )

11 , ?, A ( J, L ) 1n , A ( J , L)

21 , ?, A ( J , L) 2n , A ( J, L )

31 , ?, A ( J, L ) 3n , A ( J, L )

41 , ?, A ( J, L ) 4n , B ( J , L)

21 , ?, B ( J, L ) 2n , B ( J, L )

3 1 , ?, B ( J, L ) 3n T ;

S 为辐射系数矩阵;

F ( J, L ) r 为右端向量.辐射系数矩 阵和右端向量中元素的具体表达式见附录 A. 采用线性代数方程组的求解方法就可以得到向 量Xr的值, 进而就可以计算流体域中任意位置的 辐射速度势, 同时计算出波浪力.

4 波浪激励力和辐射作用力的计算

4 1 波浪激励力的计算 波浪激励力由入射势 i 和绕射势 d 作用产 生.由伯努利方程可得到动水压力与速度势的关 系, 将动水压力沿浮体被水浸没表面积分就可以 得到 j 方向的波浪 激励力的计 算式为Fm kt = Fm j e- i t , 其中波浪激励力由入射势和绕射势作用产 生, 在频域上第 J 个浮子上 j 方向的波浪激励力为 FJ j = ? i . S J ( i + d ) nj ds, ( 23) 利用格林第二等式, 由式( 23) 又可以得到 F J j = ?i . S J i nj ds- ? i . S

0 ! ( j ) r i n ds, (24) 式中, SJ 为第J ( J= 1, 2) 个浮体被水浸没的表面 积;

S0 为整个流体域边界( 或者为不包括自由面边 界、 辐射边界以及(, ?区的海底边界的剩余的流体 边界) ;

n 为浮体表面的广义法向矢量( 指向浮体内 部) ;

n1 = nz , n2 = nx , n3 = ( z- z0 ) nx - ( x- x0 ) n2 , (x0 , z0 )为假定的浮体旋转中心, nx 和nz 为浮体表 面的单位内法向矢量的分量.利用式( 23) 求波浪激 励力的方法称为方法一, 而由式( 24) 求波浪激励力 的方法称为方法二.本文重点叙述求辐射势的解析 方法, 所以在求波浪激励力时采用方法二.

4 2 辐射作用力的计算 辐射作用力是由物体运动产生的辐射势对物体 产生的作用力, 即F( I, K ) p = ?i . S

1 ?

3 L =

1 ?

2 J=

1 ( J, L ) r e- i t nk ds = e- i t ?

3 L=

1 ?

2 J=

1 2 A ( J, L ) r Ca( J , L) ( I , K) + i A ( J, L ) r , Cd ( J, L ) ( I, K ) , 式中, Ca ( J, L ) ( I, K ) 和Cd ( J, L ) ( I , K) 表示物体 J 作L 模式运动在 物体 I 上引起 K 方向的附加质量和阻尼系数. Ca( J , L) ( I , K ) = ? . S

1 Re( ! ( J , L) r )ds = Re[ ? f ( J, L ) ( I, K ) ] , Cd ( J, L ) ( I , K) = ? . S

1 Im( ! r ( J, L ) ) nk ds = Im( ?f ( J, L ) ( I , K) ), 式中, f ( J, L ) ( I, K ) 的计算式为 f ( J, L ) ( I , K) = . s ( ! ( J, L ) r )nk ds, (L = 1, 2, 3).

5 计算结果分析

5 1 方法验证 为了验证本文计算方法的正确性, 这里给出

1 个具体算例, 该算例的有关参数为 d1 / h1 = 0. 1, a/ h1 = 0. 2, h2 / h1 = 0. 1, d2 / d1 = 2.我们采用边界元 方法和特征函数展开法分别计算, 图2验证了两种 方法计算的结果十分吻合.采用解析方法计算双矩 形浮子的波浪激励力, 研究了在不同工况下波浪激 励力和水动力学系数( 附加质量和阻尼系数) 的变化 趋势.在计算时对辐射势的无穷级数取前

40 项, 采 用边界元方法计算相同问题的波浪力时, 边界单元 的划分按 照计算域每个波长布置

100 个均匀单元. 波浪激励力无因次化采用的模是 W

0 = 2? ga 和W1=2? ga2 , 附加质量和阻尼系数无因次化采用的 模是 M0 = 2? gad

1 和M1 = 2? g ad

2 . Ca ( J, L ) 和Cd ( J, L ) 分别表示J 物................