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4 表明,同构作为线性 空间之间的一种关系,具有反身性、对称性与传 递性. 既然数域 F 上任意一个 n 维线性空间都与 Fn 同构,由同构的对称性与传递性即得,数域 F 上 任意两个 n 维线性空间都同构. 综上所述,我们有:

四、同构的充分必要条件 定理

2 数域 F 上两个有限维线性空间同构 的充分必要条件是:它们有相同的维数. 在线性空间的抽象讨论中,我们并没有考虑 线性空间的元素是什么,也没有考虑其中运算是 怎样定义的,而只涉及线性空间在所定义的运算 下的代数性质. 从这个观点看来,同构的线性空 间是可以不加区别的. 因之,定理

2 说明了,维 数是有限维线性空间的唯一本质特征. 特别地,每一数域 F 上n维线性空间都与 n 元 数组所成的空间 Fn 同构,而同构的空间有相同的 性质. 由此可知,我们以前所得到的关于 n 元数组 的一些结论,在一般的线性空间中也是成立的,而 不必要一一重新证明.

五、举例 例1F[x]3 与F3同构,其同构映射为 ? ( a0 + a1x + a2x2 ) = (a0 , a1 , a2) . ? 把F[x]3的基

1 , x , x2 映射成 F

3 的基 e1 , e2 , e3 , ? (

1 ) = e1 = (

1 ,

0 ,

0 ) , ? ( x ) = e2 = (

0 ,

1 ,

0 ) , ? ( x2 ) = e3 = (

0 ,

0 ,

1 ) . 即例2设V是全体复数在实数域 R 上构成的 线性空间,则V与R2 同构. 其同构映射为 ? ( a + b i ) = ( a , b ) . ? 把V的基

1 , i 映射成 R2 的基 e1 , e2 , 即?(1)=e1 = (

1 ,

0 ) , ? ( i ) = e2 = (

0 ,

1 ) . 作成实数域R上的线性空间. 把实数域R看成是自身上的线性空间. 证:作对应 易证 为的1-1对应. 且对 有 所以, 为 的同构映射. 故 方法二:作对应 易证: 为的1-1对应,而且也为同构映射. 事实上, 为 的逆同构映射. 例4数域 F 上的空间 F2?2 与F4同构. 其同 构映射为 设F4的一组基为 e1 = (1, 0, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0, 0) , e3 = (0, 0, 1, 0) , e4 = (0, 0, 0, 1) , 则可得 F2?2 的一组 基为 2)证明:复数域C看成R上的线性空间与W同构, 设集合 练习 1)证明:W为 的子空间,并求出W的维数 与一组基. 并写出一个同构映射.