DOCX《第一章》

第一章 数值计算的误差 内容提要 误差 误差分析与数值稳定性 数值计算中算法设计的技术 数学软件(略) 误差的来源 绝对误差与相对误差 误差限 有效数字 误差估计 什么是误差 误差的来源 从实际问题中抽象出数学模型 ―― 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 ―― 观测误差 数学模型的数值求解 ―― 截断误差(方法误差) 机器字长有限 ―― 舍入误差 在数值分析中,我们总假定数学模型是准确的,因而不考虑模型误差和观测误差,主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.

误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度,是科学计算中的一个十分重要的概念. 误差举例 例:近似计算 误差举例 绝对误差 绝对误差可正可负 绝对误差通常是不可知的 做误差估计时所求的是绝对误差限,越小越好! 但绝对误差限却不能很好地表示近似值的精确程度 定义:设x为精确值,x* 为它的一个近似值,则称 e* = x* - x 为近似值 x* 的绝对误差,有时简称误差. x ― 精确值x* ― 近似值 定义:存在一个正数 ?* ,使得, |e*| = |x* - x| ? ?* 则称 ?* 为绝对误差限,简称误差限.记: x = x*± ?* 相对误差 I can tell that this part'

s diameter is 20cm?0.1cm. Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value I can tell that distance between two planets is

1 million light year ±1 light year. 定义:设x为精确值,x* 为它的一个近似值,则称 为近似值 x* 的 相对误差. 相对误差 近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 绝对误差限 或 相对误差限 x* - x er* = x 若存在正数 ?r*,使得 |er*| ? ?r*,则称 ?r*为 相对误差限 有效数字 例:? = 3.14159265 ・・・ ,近似值 x1 = 3.1415,x2 = 3.1416 问:x1, x2 分别有几位有效数字? 例:根据四舍五入原则写出下列各数的具有

5 位有效数字的近似值: 187.9325,0.03785551,8.000033 (187.93,0.037856,8.0000) (4, 5) 按四舍五入原则得到的数字是有效数字 一个数末尾的

0 不可以随意添加或省略 定义:若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位,且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位,则称 x* 有n位有效数字. 有效数字 x* = ? a1.a2・・・an ・・・ ? 10m 0.5 ? 10k-1 <

|x*- x| ? 0.5 ? 10k 则x* 有m-k+1 位有效数字. 设x* 为x的近似值,若x* 可表示为 另一个比较实用的描述 其中 ai 是0到9中的数字且 a1?0 ,且有 x*有n位有效数字 0.5 ? 10m-n <

|x*- x| ? 0.5 ? 10m-n+1 有效数字与相对误差限 定理:设近似值 x* 可表示为 x* = ? a1.a2・・・an ・・・ ?10m (a1?0), 若x* 具有 n 位有效数字,则其相对误差限满足

1 ? 2a1 ? 10-(n-1) 反之,若则x* 至少有 n 位有效数字.

1 ? 2(a1+1) ? 10-(n-1) 有效数字越多,相对误差限越小 证明:板书 误差估计 误差估计:估计误差限或相对误差限 记?(x*) 为x* 的误差限,则有 简单算术运算的误差估计 误差估计 一元可微函数 f (x) 的误差估计 设一元函数 f (x) 可微,x*为x的近似值,则有 例:测得某场地的长 L 和宽 D 分别为:L*=110m, D*=80m.其测量误差限分别为 0.2m 和0.1m. 试求面积 S 的绝对误差限和相对误差限. 误差估计 设多元函数 f (x) 可微, x*=(x1*, x2*, ???, xn*) 为x=(x1, x2, ???, xn) 的近似值,则有 ? ( f(x*) ) ? 多元可微函数 f (x) 的误差估计 解:板书(教材第