DOCX《第五章》

第五章 线性方程组直接解法 ― 向量与矩阵范数 ― 矩阵条件数 本讲内容 定义、常见向量范数、性质 向量范数 定义、常见矩阵范数、性质 矩阵范数 矩阵条件数 向量范数 向量内积,向量范数 常见向量范数:

1、

2、p、? 范数的性质(连续性、等价性) Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性 向量范数 定义:设函数 f : Rn ? R,若f满足 f(x) ? 0,? x?Rn , 等号当且仅当 x =

0 时成立 (正定性) f(?x) = |?| ・ f(x) , ? x?Rn , ? ??R (齐次性) f(x+y) ? f(x) + f(y) (三角不等式) 则称 f 为Rn 上的(向量)范数,通常记为 || ・ || 向量范数 向量内积(数量积) 定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式 导出范数(欧氏范数) 常见向量范数 Rn 空间上常见的向量范数 1-范数: 2-范数: ?-范数(有时也称最大范数): p-范数: 范数性质 范数的性质 (1) 连续性 定理:设f是Rn 上的任一向量范数,则f关于 x 的每个分量连续.

(2) 等价性 定理:设|| ・ ||s 和|| ・ ||t 是Rn 上的任意两个范数,则存在常数 c1 和c2 ,使得对任意的 x?Rn 有 证明:板书 证明:板书 范数性质 (3) Cauchy-Schwarz 不等式 (4) 向量序列的收敛性(略,见

第六章) 定理: 证明:略 矩阵范数 矩阵范数 常见矩阵范数:F、

1、

2、? 范数的性质(连续性、等价性) 矩阵范数的相容性 算子范数的计算、算子范数与谱半径 矩阵范数 定义:设函数 f : Rn?n ? R,若f满足 f(A) ? 0,? A? Rn?n , 且f(A) =

0 ? A =

0 (正定性) f(?A) = |?| ・ f(A) , ? A?Rn , ? ??R (齐次性) f(A+B) ? f(A) + f(B) (三角不等式) f(AB) ? f(A)f(B) (相容性) 则称 f 为Rn?n 上的(矩阵)范数,通常记为 || ・ || 矩阵范数 常见矩阵范数 常见的矩阵范数 (1) F-范数 (Frobenious 范数): (2) 算子范数 (从属范数、诱导范数) 其中 || ・ || 是Rn 上的任意一个向量范数 证明:板书 注:教材上的定义不太严谨 算子范数 常见的算子范数 ③ ?-范数(行范数) ② 2-范数(谱范数) ① 1-范数(列范数) 证明:③ ② 板书,① 为作业 算子范数举例 例:设 计算 解:板书 矩阵范数性质 (1) 连续性:设f是Rn?n 上的任一矩阵范数,则f关于 A 的每个分量是连续的. (2) 等价性:设|| ・ ||s 和|| ・ ||t 是Rn?n 上的任意两个矩阵范数,则存在常数 c1 和c2 ,使得对任意的 A? Rn?n 有(3) 若A是对称矩阵,则 证明:略 证明:略 证明:练习 算子范数性质 定理:设|| ・ || 是任一算子范数,则 证明:板书 事实上,该性质对任意矩阵范数都成立 定理:设|| ・ || 是Rn 上的任一向量范数,其对应的算子范数也记为 则有 该性质就是矩阵范数与向量范数的相容性 证明:直接由算子范数定义可得. 算子范数性质 定理:设|| ・ || 是任一算子范数,若||B|| 0, 总存在一算子范数 || ・ ||? ,使得 ||A||? ? ?(A) + ? 证明:略 矩阵条件数 病态矩阵 矩阵条件数 条件数的计算 条件数的性质 病态矩阵 定义:考虑线性方程组 Ax=b,如果 A 或b的微小变化会导致解的巨大变化,则称此线性方程组是病态的,并称矩阵 A 是病态的,反之则是良态的. 什么是病态矩阵 例: 矩阵条件数 定义:设A非奇异,则称 为A的条件数,其中 v 是1,2 或?.如何判别矩阵是否病态 ―― 矩阵的条件数 定理:考虑线性方程组 Ax=b,设A是精确的,b 有微小的扰动 ?b,新方程组的解为 x + ?x ,即A(x + ?x) =b+ ?b ,则 证明:板书 矩阵条件数 定理:考虑线性方程组 Ax=b,设b是精确的,A 有微小的扰动 ?A,此时的解为 x + ?x .假定 ,则当?A 充分小时,不等式右端约为 证明:略 通常,当A的条件数较大时,就称 A 就是病态的 一般来说,条件数越大,病态越严重,此时就越难用一般方法求得线性方程组的比较精确的解. 矩阵条件数 条件数与范数有关,常用的有无穷范数和2-范数 注:Cond(A)2 称为谱条件数,当A对称时有 条件数性质 条件数的基本性质 Cond(A)?1 Cond(?A) = Cond(A), 其中 ? 为任意非零实数 若R是正交矩阵,则Cond(R)2=1 若R是正交矩阵,则对任意非奇异矩阵 A,有Cond(AR)2=Cond(RA)2=Cond(A)2 举例 例: 计算 Cond(A)? 和Cond(A)2 解: Cond(A)?=||A-1|| ? ||A|| ? ? 4?104 Cond(A)2=?max / ?min ? 4?104 A 对称,且 举例 例:计算 Cond(Hk)? 其中 Hk 为k阶Hilbert 矩阵 解: k=1 时, Cond(H1)?=1 k=2 时, Cond(H2)?=27 k=3 时, Cond(H3)?=748 Cond(H4)?=28375,Cond(H10)?=3.5?1013 解的改善(了解) (1):使用更高精度的数进行计算 (2):使用迭代法提高数值解的精度 其中 ?x 是 的解. 作业 1. 教材第