DOC《《数学分析选论》习题解答》

当时,满足 , 所以在近旁局部有界. 11.设为连续函数,为任一开集,为任一闭集.试问是否必为开集?是否必为闭集?为什么? 解 不一定为开集.例如 . 这里为开集,但却为闭集. 当为有界闭集时,由连续函数的性质知道必为闭集且有界.但当为无界 闭集时,就不一定为闭集,例如 . 这里可看作一闭集,而却为一开集. 12.设.试举例说明: 仅有,不一定为一压缩映射;

仅有存在,使对任何,满足 , 此时也不一定为一压缩映射. 解(1)例如.这里为一闭域,它虽然满足,但因,所以不是压缩映射.(注:这也可根据压缩映射原理来说明,由无解,即没有不动点,故不是压缩映射.) 例如.它虽然满足 , 但因,故此仍不是一个压缩映射. 13.讨论取怎样的值时,能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射: (1);

(2);

(3);

(4). 解(1)由,可知对任何,在上都不可能是压缩映射. (2)首先,只有当时,才能使 . 其次,由于对任何都有 , 因此只要取,即,就能保证在上为一压缩映射. 由,可知.再由 , 又可求得,即.所以,当取时,就能保证在上为一压缩映射. 由于,因此可由 , 解出( 即),. 再由,可见只要,就能保证在上为一压缩映射. 14.试用不动点方法证明方程在区间上有惟一解;

并用迭代法求出这个解(精确到四位有效数字). 解 若直接取,则因 , 可知在上不是压缩映射.为此把方程改写成,并设 . 由于在上 ,且,所以在上为一压缩映射,且在上有惟一不动点. 取,按迭代计算如下: 所以,方程即的解(精确到四位有效数字)为 15.设 ,其中为一个维闭球(球心为).试证:若存在正数,使对一切,都有 , , 则在中有惟一的不动点. 证 显然,只需证得了,连同条件便知在上为一压缩映射,从而有惟一的不动点.现证明如下: .由,以及题设条件的两个不等式,得到 这表示,即.