DOC《2019年福州市高中毕业班质量检测》

即交轴于点坐标为, 8分 所以, 9分,10分∴, 11分∴. 设点坐标为,则, 所以点在定直线上. 12分(2)解法二:设,由(1)知抛物线方程为,① 设,以为切点的切线的方程为②, 联立①②得:, 6分 因为,所以, 所以切线的方程为. 7分令,得切线交轴的点坐标为, 8分 所以, 9分,10分∴11分∴, 设点坐标为,则, 所以点在定直线上. 12分 (本小题满分12分) 已知函数. (1)求函数的单调区间;

(2)当时,关于的方程有两个不同的实数解,求证:. (1)【解析】:的定义域为, 1分,2分 ①当时,即时,在上,在上, 所以的单调递增区间是上,单调递减区间是;

3分 ②当,即时,在上, 所以,函数单调递减区间是,无递增区间. 4分(2)证明:设, 5分 所以, 6分 当时,,

函数在区间上单调递增;

当时,,

函数在区间上单调递减;

7分 所以在处取得最大值. 当时,方程有两个不同的实数解 所以函数的两个不同的零点,一个零点比1小,一个零点比1大. 8分 不妨设, 由,且,得,且, 9分 则所以, 10分 所以, 令, , . , 所以, 11分 所以函数在区间上单调递增, , 所以, 又因为, 所以. 12分

(二)选考题:共10分.请考生在第

22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分. 22. [选修:坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,射线与曲线交于两点,直线与曲线相交于两点. (1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)当时,求的值. 【解析】(1)将直线的参数方程化为普通方程为. 2分,得, 3分,即曲线的直角坐标方程为. 5分,得., 6分,得由,得 8分, 则 9分或. 所以,所求的值为或. 10分 解法二:将射线化为普通方程为, 6分由(1)知,曲线:的圆心,半径为,到该射线的最短距离为:, 所以该射线与曲线相交所得的弦长为. 7分 圆心到直线的距离为:, 8分由,得,即, 9分 解得,或 所以,所求的值为或. 10分:不等式选讲] (10分) 已知不等式的解集为. (1)求集合;

(2)设实数,证明:. 【解析】(1)解法一:当时,不等式化为:,即, 所以;

2分时,不等式化为:,即, 所以;

3分时,不等式化为:,即, 所以;

4分. 5分, 则 2分 函数如下图所示, 4分 因为,由上图可得, 所以. 5分 解法三:不等式, 等价于或或;

3分 解得, . 5分(2) 证法一:因为,所以. 6分 7分 9分 所以. 10分,只需证:, 6分, 8分,所以, 9分成立. 所以成立. 10分