DOC《北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试》

②当时,(). 记这样的数列个数为. (I)写出的值;

(II)证明不能被4整除. 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 数学答案(理工类) 2017.11 选择题: 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 C B C A B D D C 填空题: 9.

5 10.

3 11. 12. 或或(答案不唯一) 13. ;

14. 24;

, ,,

,(答案不唯一)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解:(Ⅰ)当时,. 当时,,

,即 所以数列是首项为1,公比为2的等比数列. 故, . 8分(Ⅱ)由已知得. 因为, 所以是首项为0,公差为的等差数列. 故的前项和. 13分16. (本小题满分13分) 解:因为, 所以 . (Ⅰ)函数的最小正周期为. 8分(Ⅱ)因为,所以. 所以. 所以. 13分17. (本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为,,

所以. 所以. 所以. 所以. 所以. 所以. 7分(Ⅱ)因为,,

,由余弦定理得 . 所以,. 所以的面积. 13分18. (本小题满分14分) 解:(Ⅰ)函数的定义域为.. 当时,令,解得:或,为减函数;

令,解得:,为增函数. 当时,恒成立,函数为减函数;

当时,令,解得:或,函数为减函数;

令,解得:,函数为增函数. 综上, 当时,的单调递减区间为;

单调递增区间为;

当时, 的单调递减区间为 ;

当时,的单调递减区间为;

单调递增区间为. 8分(Ⅱ)在定义域内不为单调函数,以下说明: . 记,则函数为开口向上的二次函数. 方程的判别式 恒成立. 所以,有正有负. 从而有正有负. 故在定义域内不为单调函数. 14分19. (本小题满分14分) 解:函数的定义域为, (Ⅰ),又, 曲线在处的切线方程为 . 即. 4分(Ⅱ) 要证明 等价于 . 设函数. 令,解得. 因此,函数的最小值为.故. 即. 9分(Ⅲ)曲线位于轴下方. 理由如下: 由(Ⅱ)可知,所以. 设,则. 令得;

令得. 所以在上为增函数,上为减函数. 所以当时,恒成立,当且仅当时,. 又因为, 所以恒成立. 故曲线位于轴下方. 14分20. (本小题满分13分) (Ⅰ)解: 3分(Ⅱ)证明:把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列. 对于个数的首项最小数列,由于,故或3. (1)若,则构成项的首项最小数列,其个数为;

(2)若,则必有,故构成项的首项最小数列,其个数为;

(3)若则或. 设是这数列中第一个出现的偶数,则前项应该是,是或,即与是相邻整数. 由条件②,这数列在后的各项要么都小于它,要么都大于它,因为2在之后,故后的各项都小于它. 这种情况的数列只有一个,即先排递增的奇数,后排递减的偶数. 综上,有递推关系:,. 由此递推关系和(I)可得,各数被4除的余数依次为: 1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,… 它们构成14为周期的数列,又, 所以被4除的余数与被4除的余数相同,都是1, 故不能被4整除. 13分 ........