DOC《构造数形结合思想》

构造数形结合思想 "数缺形时少直观,形缺数入时难入微".

数与形是数学中两个最古老的,也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以相互转化,数学中的代数问题,三角问题,向量问题往往都有明显的几何背景,而借助于几何直观,可使抽象的概念,繁杂的计算,复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论,它不仅是一种重要的解题方法,而是一种重要的思想.在处理有关问题时,利用数形结合的思想和方法,往往能使解题过程简洁优美,起到事半功倍的效果.

一、构造数形结合 数形结合法是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转化为代数信息,利用数量特征,将其转化为代数问题;

在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出几何图形,即转化为几何问题,从而数形的辩证统一和各自的优势尽快的找到解题途径,数形结合法具有直观性、灵活性、深刻性、综合性的特点,跨越各科的知识界限对提高分析问题和解决问题的能力有很大的帮助.

二、数形结合的主要方法有:解析法、三角法、复数法、向量法、图象法等.

三、应用举例

(一)在几何中的应用 根据形所满足的代数特征,用代数问题解决几何问题或根据"数式"的结构特点或几何意义,构造出与之相应的几何图形,用几何方法解决代数问题,是数形结合思想的具体体现. 例1.如图1所示,已知AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD. 解析1:作AH⊥面BDC于H,连结BH、CH、DH,则BH是AB在面BDC上的射影,∵AB⊥CD,∴CD⊥BH. 同理DH⊥BC.故H是三角形BDC的垂心,从而BD⊥CH. 根据三垂线定理的逆定理有AC⊥BD. 点评:此题用纯几何法应用三垂线及其逆定理给出的证明,难点是辅助线的联想,这是证明的关键所在. 解析2:设=10(种) (2)如果用4种颜色涂, 先涂以A1为顶点的三个面,则剩下的三个面必有两个面的颜色分别与已涂的某两个面颜色相同,因而共有=60(种). (3)如果用5种颜色涂, 先涂以A1为顶点的三个面,则剩下的三个面必有1个面的颜色与已涂的某个面颜色相同,因而共有=60(种). 由分类计数原理知共有++=130(种) 点评:本题画出模型, 使得思维更加直观形象,借助模型通过分类讨论求出涂法种数, 避免分类中的重复和遗漏.

(三)在概率中的应用 在求某些等可能事件的概率时,要求某事件中包含的基本事件个数,而求某事件中包含的基本事件个数有时用数形结合法比较简便. 例6.以正方体的任意三个顶点为顶点组成三角形,求是等边三角形的概率. 分析:图5所示,不难求出三角形的个数和等边三角形的个数.因而可求所求事件的概率. 解:设组成的三角形是正三角形为事件A,则从正方体的8个顶点上任选三个顶点组成三角形共可组成,而ΔA1DB,ΔB1AC,ΔC1DB,ΔD1AC,ΔAD1B1,ΔA1C1B,ΔD1CB1,ΔA1DC1是8个正三角形,即m=8, 由等可能事件概率的定义知 P(A)