DOC《学科：数学 高二年级 11班 教师：倾转莉》

② 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:=. (3)组合数的公式: 或 规定: .

三、讲解范例: 例4.求证:. 证明:∵ = = ∴ 例5.设 求的值 解:由题意可得: ,解得, ∵, ∴或或, 当时原式值为7;

当时原式值为7;

当时原式值为11. ∴所求值为4或7或11. 第三课时 例6. 一位教练的足球队共有

17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: (l)这位教练从这

17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情? 分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从

17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;

对于(

2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题. 解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手=

12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情: 第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有种选法;

第2步,从选出的 n 人中选出

1 名守门员,共有种选法. 所以教练员做这件事情的方法数有 =136136(种). 例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有

10 个点,以其中每

2 个点为端点的有向线段共有多少条? 解:(1)以平面内

10 个点中每

2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有 (条). (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每

2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有 (条). 例8.在100 件产品中,有98 件合格品,2 件次品.从这

100 件产品中任意抽出

3 件.(1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的

3 件中恰好有

1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的

3 件中至少有

1 件是次品的抽法有多少种? 解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有 =

161700 (种). (2)从2 件次品中抽出

1 件次品的抽法有种,从98 件合格品中抽出

2 件合格品的抽法有种,因此抽出的

3 件中恰好有

1 件次品的抽法有 =9506(种). (3)解法

1 从100 件产品抽出的

3 件中至少有

1 件是次品,包括有1件次品和有

2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有 +=9

604 (种) . 解法2 抽出的3 件产品中至少有

1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即=161 700-152

096 =

9 604 (种). 说明: 至少 至多 的问题,通常用分类法或间接法求解. 变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? (1)甲、乙、丙三人必须当选;

2)甲、乙、丙三人不能当选;

(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;

(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;

(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;

(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;

例9.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法? 解:. (2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法? 解:问题可以分成2类: 第一类 2名男生和2名女生参加,有中选法;