DOC《学科：数学 高二年级 11班 教师：倾转莉》

第二类 3名男生和1名女生参加,有中选法 依据分类计数原理,共有100种选法 错解:种选法引导学生用直接法检验,可知重复的很多 例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种? 解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有,,

, 所以,一共有++=100种方法. 解法二:(间接法) 第四课时 组合数的性质1:. 一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数,即:.在这里,主要体现: 取法 与 剩法 是 一一对应 的思想 证明:∵ 又,∴ 说明:①规定:;

②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;

③此性质作用:当时,计算可变为计算,能够使运算简化. 例如===2002;

④或. 2.组合数的性质2:=+. 一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m (1个元素与组成的,共有个;

不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想, 含与不含其元素 的分类思想. 证明: ∴=+. 说明:①公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;

②此性质的作用:恒等变形,简化运算 例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球, (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:(1),或,;

(2);

(3). 例12.(1)计算:;

(2)求证:=++. 解:(1)原式;

证明:(2)右边左边 例13.解方程:(1);

(2)解方程:. 解:(1)由原方程得或,∴或, 又由得且,∴原方程的解为或 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多. (2)原方程可化为,即,∴, ∴, ∴,解得或, 经检验:是原方程的解 第五课时 例14.证明:. 证明:原式左端可看成一个班有个同学,从中选出个同学组成兴趣小组,在选出的个同学中,个同学参加数学兴趣小组,余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数.原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组,在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数.显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立. 例15.证明:…(其中). 证明:设某班有个男同学、个女同学,从中选出个同学组成兴趣小组,可分为类:男同学0个,1个,…,个,则女同学分别为个,个,…,0个,共有选法数为….又由组合定义知选法数为,故等式成立. 例16.证明:…. 证明:左边=…=…, 其中可表示先在个元素里选个,再从个元素里选一个的组合数.设某班有个同学,选出若干人(至少1人)组成兴趣小组,并指定一人为组长.把这种选法按取到的人数分类(…),则选法总数即为原式左边.现换一种选法,先选组长,有种选法,再决定剩下的人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有种,所以选法总数为种.显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立. 例17.证明:…. 证明:由于可表示先在个元素里选个,再从个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数.对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况.若组长和副组长是同一个人,则有种选法;