DOC《麓山国际实验学校高中奥数辅导资料之三》

如不行,请说明理由. 11.我们将若干个数x,y,z,…的最大值和最小值分别记为max(x,y,z,…)和min(x,y,z,…).已知 a+b+c+d+e+f+g=1,求min[max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)] 课后练习 1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗?为什么? 2.连续自然数1,2,3,…,8899排成一列.从1开始,留1划掉2和3,留4划掉5和6……这么转圈划下去,最后留下的是哪个数? 3.给出一个自然数n,n的约数的个数用一个记号A(n)来表示.例如当n=6时,因为6的约数有1,2,3,6四个,所以A(6)=4.已知a1,a2,…,a10是10个互不相同的质数,又x为a1,a2,…,a10的积,求A(x). 4.平面上有100个点,无三点共线.将某些点用线段连结起来,但线段不能相交,直到不能再连结时为止.问:是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形,它的内部没有其余97个点中的任何一个点? 5.在一块平地上站着5个小朋友,每两个小朋友之间的距离都不相同,每个小朋友手上都拿着一把水枪.当发出射击的命令后,每人用枪射击距离他最近的人.问:射击后有没有一个小朋友身上是干的?为什么? 6.把1600粒花生分给100只猴子,请你说明不管怎样分,至少有4只猴子分的花生一样多. 7.有两只桶和一只空杯子.甲桶装的是牛奶,乙桶装的是酒精(未满).现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶,然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶,这时,是甲桶中的酒精多,还是乙桶中的牛奶多?为什么? 8.在黑板上写上1,2,3,…,1998.按下列规定进行 操作 :每次擦去其中的任意两个数a和b,然后写上它们的差(大减小),直到黑板上剩下一个数为止. 问:黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么? 课后练习答案 1.有. 解:当n=2时,方程x1+x2=x1x2有一个自然数解:x1=2,x2=2;

当n=3时,方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解:x1=1,x2=2,x3=3;

当n=4时,方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4. 一般地,方程 x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自然数解:x1=1,x2=1,…,xn-2=1,xn-1=2,xn=n. 2.3508. 解:仿例3.当有3n个数时,留下的数是1号. 小于8899的形如3n的数是38=6561,故从1号开始按规则划数,划了8899-6561=2338(个)数后,还剩下6561个数.下一个要划掉的数是2388÷2*3+1=3507,故最后留下的就是3508. 3.1024. 解:质数a1有2个约数:1和a,从而A(a1)=2;

2个质数a1,a2的积有4个约数:1,a1,a2,a1a2,从而 A(a1*a2)=4=22;

3个质数a1,a2,a3的积有8个约数: 1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3, 从而A(a1*a2*a3)=8=23;

…… 于是,10个质数a1,a2,…,a10的积的约数个数为 A(x)=210=1024. 4.存在. 提示:如果一个三角形内还有别的点,那么这个点与三角形的三个顶点还能连结,与已 不能再连结 矛盾. 5.有. 解:设A和B两人是距离最近的两个小朋友,显然他们应该互射.此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个,即A,B中有一人挨了两枪,那么其他三人中必然有一人身上是干的.如果没有其他的小朋友射向A或B,那么我们再考虑剩下的三个人D,E,F:若D,E的距离是三人中最近的,则D,E互射,而F必然射向他们之间的一个,此时F身上是干的. 6.假设没有4只猴子分的花生一样多,那么至多3只猴子分的花生一样多.我们从所需花生最少情况出发考虑: 得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只,得33粒花生的猴子有1只,于是100只猴子最少需要分得花生 3*(0+1+2+…+32)+33=1617(粒), 现在只有1600粒花生,无法使得至多3只猴子分的花生一样多,故至少有4只猴子分的花生一样多. 7.一样多. 提示:从整体看,甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化.甲桶里有多少酒精,就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶.所以,甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多. 8.奇数. 解:黑板上开始时所有数的和为 S=1+2+3+…+1998=1997001, 是一个奇数,而每一次 操作 ,将(a+b)变成了(a-b),实际上减少了2b,即减少了一个偶数.因为从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,所以最后黑板上剩下一个奇数. 例题答案: 1.分析与解:如果桌子大小只能容纳一枚硬币,那么先放的人当然能够取胜.然后设想桌面变大,注意到长方形有一个对称中心,先放者将第一枚硬币放在桌子的中心,继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上,这样进行下去,必然轮到先放者放最后一枚硬币. 2.分析:从最简单的情况........