DOC《河南工业大学》

六、证明:(1)设为的标准正交基,令则.3分 事实上,设 6分 设还有,使,来证明. 事实上,令 有对任意 考试科目代码及名称:837 高等代数 共5页(第4页) 从而,进而,的共轭变换唯一…9分(2)为对称变换当且仅当当且仅当…12分(3)为正交变换当且仅当为正交阵当且仅当当且仅当(恒等变换)15分

七、证明:显然…2分 另一方面,设的系数矩阵为,由知,其基础解系中含有个向量,故…5分 同理,设方程组的系数矩阵为,由知,其基础解系中含有1个向量,故…8分 又注意到 当且仅当为方程组的解当且仅当, 于是,且由维数公式知…13分 综上得知…15分

八、解:(1)由为实对称矩阵,于是存在正交矩阵以及对角阵使得,其中为的特征值…2分 由以及知,从而,故或1.即的特征值都是非负数,半正定…10分(2)设,则. ………..13分 由知有个等于1,个等于0,又, 故…15分 考试科目代码及名称:837 高等代数 共5页(第5页)

九、解:3分又,,

且 线性无关,故构成的一组基…6分 9分 解齐次线性方程组,由, 解得两个线性无关的解…12分令.则构成的一组基…15分

十、证明:由(1)设为中的一个非零矩阵,不妨设的第-元.设为第-元素为1,其余元素全为0的阶方阵.由(3)知对中任意方阵,中任意方阵,都属于,特别地属于.进一步对作初等行变换和列变换可得的一组基,根据初等变换和矩阵乘法的关系又可知作初等行变换和列变换所得是形如的矩阵,故包含的一组基…10分由(3)知对中任意方阵, 都属于,由(2)知对中任意方阵属于,即对矩阵的加法和数乘矩阵的运算是封闭的. 对中任意方阵,属于.从而………15分