DOC《习题与答案4》

习题与答案4

第四章 不完全信息静态博弈 1.

两个厂商同时决定是否进入某个市场.两个厂商的进入成本是各自的私人信息,另一个厂商只知道的分布函数为.只有一个厂商进入是收益为,两个厂商都进入时收益各为,都不进入收益都为0,.求该博弈的贝叶斯纳什均衡. 参考答案: 根据问题的假设,该博弈的得益矩阵如下: 假设厂商1采用如下的临界值策略:当时,采用"进入"策略;

当时,采用"不进入"策略.假设厂商2采用如下的临界值策略:当时,采用"进入"策略,当时,采用"不进入"策略.因此厂商1采用进入策略的概率是,不进入的概率是;

厂商2采用进入策略的概率是,不进入的概率是. 从厂商1的角度来看,选择进入和不进入的期望得益分别为: 当进入的期望得益大于不进入的期望得益时厂商1会采用进入.所以厂商1的进入条件是: 或 这样就得到了厂商1进入的临界值. 从厂商2的角度来看,选择进入和不进入的期望得益分别为: 当进入的期望得益大于不进入的期望得益时厂商2才会采用进入.所以厂商2 的进入条件是: 或 这样就得到了厂商2进入的临界值. 在已知分布函数为的情况下,可以联立方程组 解得和.以这两个临界值造成的临界值策略,就是该博弈的贝叶斯纳什均衡.此时厂商1选择进入的概率为,厂商2选择进入的概率为. 2.有两个参与人,分别称为企业1和企业2,他们生产同一类产品用来满足同一市场上顾客的需求;

两家企业生产相同质量的产品;

用表示企业i的生产批量,表示逆需求函数(P是价格),;

两家企业同时决策各自的生产批量;

两家企业的生产均无固定成本,企业1的生产成本函数为,其中称为企业1的边际成本,企业采用m种技术对应的成本为: ,,

企业2知道自己采用哪一种技术,而企业1不知道企业2采用哪种技术,但知道企业2采用第k种技术的概率为,,

其中满足(不完全信息). 问题:两企业如何决定各自的生产批量? 参考答案: 对于不完全信息博弈模型, (i)企业1和企业2的最优生产批量分别为: 1) (2) (ii)企业1和企业2的最优利润分别为: (3) (4) (iii)特别地,取m=2,记,则企业1和企业2的最优生产批量为: , 5) 企业1和企业2的最优利润分别为: , 6) 证明: (i)- (ii) 企业2已采用第k种技术条件下的利润为: 企业1的利润为: 记为纳什均衡,则它是问题 (7) 的解,由(7)解得企业1和企业2的最优生产批量分别由(1)和(2)给出,企业1和企业2的最优利润分别由(3)和(4)给出. (iii) 企业2采用两种技术的利润分别为: 企业1的利润为: 由(1),(2),(3)和(4)得到企业1和企业2的最优生产批量由(5)给出,最优利润由(6)给出. 3.在n人参与的私人价值拍卖,参与人的类型Vi都服从[0,M]上的均匀分布,参与人的类型Vi是私人信息,Vi的分布是共同知识. (1)如果实行一级价格拍卖,则求对称的贝叶斯纳什均衡. (2)如果实行二级价格拍卖,则求其贝叶斯均衡. (3)在以上两种类型拍卖中,证明拍卖人的期望收入相同. 参考答案: (1)参与人在该博弈中的战略空间是从报价到价值的一个映射.假定参与人i的报价为,则效用函数为: . 由于的类型依存战略是单调递增的,因此存在反函数.即由可得.且由于服从[0,M]上的均匀分布,所以 == 因此,可得简化后的效用函数为: 一阶条件为: . 求得: . (2)假设竞标者的战略为,那么他的预期报酬是: 其中为标的物价值对其为的人的投标的价格(即第二高价).如果是最优战略,那么在任何一个下都是最优的,因此在每一点都要满足一阶微分条件.所以上述效用函数对微分,可得,即. (3)在二级价格拍卖里,假设标的物对两个竞标者的价值是和.如果,那么卖方得到的价钱是第二高价,而竞标者会出价和的概率密度函数分别是和.由于每个人出价独立,所以有人同时出价和的概率密度将是和的乘积.将所有0到可能出价的收益积分起来便是卖方的收益,即为: 上式中第二个等式的来源是二级价格拍卖下的均衡价格出价. 在一级价格拍卖中,假设一个竞标者认定价值为,由于他出价,因此其预期收益是 在最优战略下,一阶条件为: 可得 两边积分可得 . 因此, 由此我们可以计算卖方在一级价格拍卖中的预期收益为: 由此可见两种拍卖的卖方预期利润相等.