DOC《第一章 一般多元线性回归模型》

二、多元线性回归模型的假设检验 要对多元线性回归模型作假设检验, 一般需要事先作出误差正态的假设.在误差正态假设(1.2.7)下,上一段关于参数估计的计算算式与定理都成立,而且β的最小二乘估计在β的所有无偏估计类中都具有最小方差 .我们以定理形式给出误差正态假设下参数估计的分布及其推导过程. 定理1.2.2 设有线性模型 (1.2.34) rkX=p,β的最小二乘解为的估计为,则(1) (2) (3)与独立 (4) 证明 因为ε~Nn(0,σ2In),故(1.2.35) (1)因为是Y的线性函数,今Y服从多元正态分布,故也服从多元正态分布.由(1.2.18)知,由(1.219)知,故. (2)记,则,且Σ正定.分解为两非奇阵之积,即则.为正态分布的线性变换仍为正态分布,且,,

因此 (1.2.36) 于是 (1.2.37) (3)由(1.2.28)知Cov,在现在的正态假设下,即有与独立.是的可测函数,故与独立. (4) 1.2.38) 这里ε~Nn(0,σ2In).PX是幂等对称阵,其特征根非0即1,由rkPX = n-p知(PX)的特征根有n-p个1,p个0,因此存在正交阵C,C′C=In,且(1.2.39) 令Z=Cε,则Z~N(0,σ2In),,

于是 在定理1.2.2的基础上,可以作出回归方程的显著性检验.此时提出的假设为 H0∶β1=β2=…=βp=0 如果H0被接受,则表明用模型Y=Xβ+ε来描述Y与自变量X1,…,Xm的关系不恰当.为了建立适当统计量,可进行平方和分解: (1.2.40) 在误差正态假定下,当H0成立时,Y1,…,Yn独立同分布于N(0,σ2).由于SRS与SES也是相互独立,且 于是建立F统计量 (1.2.41) 对给定显著性水平,查得临界值Fα(p-1,n-p),当F>

Fα(p-1,n-p)时,拒绝H0,即否认了Y与X1,…,Xp完全不存在任何线性关系的说法. 以上是关于各个回归系数的一揽子检验方法.如果分析细致一些,考察某个自变量Xj对Y的作用显著不显著,可以作假设 H0∶βj=0 进行检验. 定理1.2.2指出与相互独立,且.设的第j个分量为,β的........