DOC《§4(5 n次方程式》

§4(5 n次方程式 (甲)n次方程式的引入与解的意义 (1)由n次多项式到n次方程式 f(x)= anxn+an(1xn(1+…+a1x+a0 是n次多项式, 方程式f(x)=0称为n次(多项)方程式.

例如:3x( 至於n=3或4的公式解,一度曾经是数学竞技斗智的焦点.期间颇多戏剧化的情节发展.结果三次方程式由卡丹(Carden)於1545年公布其解法於其著作「Ars Magna」中,而荡私夥ㄊ怯Tartaglia教给Carden,并以保守此秘密为条件,不料Carden竟然背信,将解法公布,并河,可见Carden此人为达目的不择手段.至於四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利(Ferrari 1522(1565)所提出的. 但是对於五次方程式的堡垒,却久攻不下,这个问题持续了两三百年,直到1832年,一位法国青年Galois在其决斗前夕,在它的遗书中,这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论,证明了:五次及五次以上的方程式,不可能有公式解.从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦. 解的个数: 一次方程式恰有一个根,二次方程式如果重根算是两个,那麽二次方程式就恰有两个根. 一般而言,如果计算重根的个数,(重根算二个、三重根算三个,…)那麽根径硪约耙蚴蕉,我们可推得以下定理: 定理:n次方程式就恰有n个根. (丙)多项方程式解的性质: 例子: x2(5x+6=0 ( x=2或3 x2+x+1=0 (x=. 引理1:若z1,z2为二复数,则(a) (b) . 证明: 引理2:,其中n为正整数. 证明: [定理一证明]: 定理二:设f(x)=anxn+an(1xn(1+…+a1x+a0=0为一实系数n次方程式, 若z为f(x)=0的一根,则共轭虚数亦为f(x)=0的一根. [证明]: [讨论]:(a)若f(x)=0为一个3次的实系数方程式,是否一定有实根呢? (b)若f(x)=0为一个4次的实系数方程式,是否一定有实根呢? 一般的情形: (a)若f(x)=0为一个奇数次的实系数方程式,一定有实根. (b)若f(x)=0为一个偶数次的实系数方程式,一定有偶数个实根. (可能没有实根) (2)有理根成对: 先举一个例子: 设f(x)=x4(6x3+7x2+6x(2 (a)验证2+为f(x)=0之一有理根,a,b为整数且互质,则a|an且b|a0. 解方程式2x4+x3(21x2(2x+6=0.Ans:3,为无理数. 试求方程式 f(x)=6x4+5x3+3x2(3x(2=0之有理根. Ans: (2)x=1,1,或(3) x=(2,(6,(4(为无理数. (2)无理根的问题: 利用整系数一次因式检验定理,可解决有理根的问题,但是就一般的方程式而言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一件容易的事情. 例如:f(x)=x5+3x2(7x+2=0,由於它是整系数的5次多项式,所以一定有实根,先考虑是否有理根,根６俣,x=(1,(2逐一代入多项函数f(x)中,去看f(x)值的变化: 可以看出,f(x)=0并无有理根,因为它一定有实根,所以它的实根必为无理根.通常我们无法直接求出f(x)=0无理根的形式,只能求得它的近似值.从上面的资料我们可以掌握一些重要的讯息: 当x从(2「连续地」变化到(1时,对应的函数值f(x)也从(4「连续地」变化到11.所以函数值f(x)在(4与11之间一定会有等於0的情形发生,换句话说,在(2与(1之间一定有一个数(,f(()=0;

同理,在(1与1之间会有一个数(,1与2之间会有一个数(分别使得f(()=0,f(()=0. 推广这个概念可得以下的定理: 勘根定理: 设f(x)=0为实系数n次多项方程式,a,b是两个实数, 若f(a)(f(b)