DOC《以复变函数求解一元三次方程式的根》

以复变函数求解一元三次方程式的根 Solving roots of cubic equation using complex variable 理论推导: 若给定一个一元三次方程式: (1) 将(1)同除可化简成: (2) 其中、与均为实数.

在以平移的概念将代入(2),则可得: (3) 此式型态与三角函数中的三倍角公式相似: (4) (5) 故需将(3)式中的假设成此型式,便可利用复变函数的观念将此一元三次方程式代入正弦或余弦的三倍角公式.然而未必等於,为了实现此想法则需再利用复数伸缩的观念将代入(3)式,而得: 即:6) 其中 若,则将变成实数. 若,则将变成复数,透过此复数伸缩的操作,可将一元三次方程式转变成三角复变问题,便可求解: (7) (8) 其反函数分别为: (9) (10) 故利用(9)与(10)式可推得的三个解,再利用与;

以及的关系逐一逆推,即可得此一元三次方程式的三根. 以上是将一元三次方程式透过伸缩平移与正余弦三倍角公式来求解,由於双曲三角函数与三角函数相似,故尝试是否可以利用双曲正余弦来求解 首先利用双曲三角函数中的三倍角公式 (11) (12) (11)(12)相似於(6)式中的 即 便将一元三次方程式转变成双曲函数问题 其反函数为 (15) (16) 故利用(15)与(16)式可推得的三个解,再利用与;

以及的关系逐一逆推,即可得此一元三次方程式的三根.

三、例说明 例

一、: 令 则原式可转化为: 可得: 、、 则: 例

二、 首先令代入上式 化简后得: 令 ,可得知: 假设,则,可将上式转化成 令,则原式变为: 可得知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: . 若改令,则原式变为: 则: 同理依序可得知: 若改令,则原式变为: 则: 同理依序可得知: 若改令 即,,

,可将上式转化成 原式变为 则: 同理依序可得知: 例

三、: 首先令代入上式 化简后得: 令 ,可得: 假设,则,可将上式转化成 令,则原式变为: 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 若改令,则原式变为: 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 若改令,则原式变为: 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 若改令 即,,

可将上式转化成 原式变为 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 以上三例,均为实系数方程式透过三个根得平移及复数伸缩操作求其三个根,故尝试此方法是否可以解复数方程式. 例

四、 首先令代入上式 化简后得: 令 ,可得: 假设,则= 可将上式转化成 令,则原式变为: 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 令,则原式变为: 则: 可知: 利用复数伸缩可得知: 利用平移可得知: 综整以上四例,依照,,

,其求解过程与三个根得平移及复数伸缩操作,并且整理成表如下. 实系数一元三次方程式 复数一元三次方程式 例一 例二 例三 例四 NA NA NA 实系数一元三次方程式 复数一元三次方程式 例一 例二 例三 例四 NA NA NA 实系数一元三次方程式 复数一元三次方程式 例一 例二 例三 例四 NA NA NA 实系数一元三次方程式 复数一元三次方程式 例一 例二 例三 例四 NA NA NA