DOC《2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案》

2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 一1.

已知可导函数满足, 则解: 在方程两边求导得 ,. 从而 由于,故. 2.求解由于 =. 3. 设具有二阶连续偏导数,且,其中为非零常数.则= 解: ,,

, . 所以. 4. 设有二阶导数连续,且,则=______ 解:,所以. 这样. 5不定积分= 解: 由于 . 6. 记曲面和围成空间区域为,则三重积分= 解:使用球面坐标 . 二(本题满分14分) 设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度,定义一元函数 . 若对任何都有且. 证明是的极小值. 解: 由于对一切成立,故, 即是的驻点.4分记,则.-----10分 上式对任何单位向量成立,故是一个正定阵, 而是极小值.14分三(本题满分14分) 设曲线为在 ,,

上从到的一段. 求曲线积分 解: 记为从到的直线段, 则, 4分 设和围成的平面区域,方向按右手法则. 由Stokes公式得到 ------8分 右边三个积分都是在各个坐标面上的投影面积,而在面上投影面积为零. 故.曲线在面上投影的方程为 12分 又该投影(半个椭圆)的面积得知. 同理,. 这样就有.14分四(本题满分15分) 设函数且在实轴上连续,若对任意实数,有,则,. 证. 由于,有. 因此 4分 然而 , 其中 . 这样就有 ……(1)10分即.注意到 ,和.-----13分 把以上两个式子入(1),即得结论.15分五(本题满分15分) 设为一个数列,为固定的正整数.若 ,其中为常数,证明. 证明:对于,记 .由题设,从而 5分而. 由题设知 10分 对正整,设,其中,从而可以把正整数依照分为个子列类.考虑任何这样的子列,下面极限 ,故.15分