DOC《分还是不分》

分还是不分 ――分类讨论思想在解题中的应用辨析 江苏省前黄高级中学213161 刘江艳 分类讨论思想在各地的高考试题的考查中时有体现,它是高考的热点,也是难点,对能力有一定的要求.

解决这类问题关键是要找到分类的动机,即为什么分类,怎么样分类.本文试结合近几年的高考题型做一个简单的归类总结. 一 如何分类、怎么分类 1.由参数的变化引起的分类讨论 对于含有参数的方程、不等式问题,由于参数取值的不同会导致结果的不同,或对于参数所在范围的不同,要运用不同的求解方法,这都需要对参变量进行恰当的分类. 例1:(11年江苏)已知实数,函数,若, 则.分析:本题考查分段函数,由于和所属区间的不确定性,故需对进行讨论. 当时,由,原式转化为,解得;

当时,,

原式化为,解得,符合. 由数学概念引起的分类讨论 数学中一些概念本身就是分类的,如绝对值、指(对)数函数的底数、直线斜率与倾斜角的关系等,这提示我们解题时要注意分类讨论. 例2:(09年江苏,有删减)设为实数,函数 ⑴若,求取值范围;

⑵求的最小值. 分析:本题含有绝对值,去绝对值的过程本身就是一个分类的过程 ⑴,由题知 ,故. ⑵去掉绝对值后,问题转化成二次函数在给定区间上的最小值问题,只是二次函数的对称轴与区间的关系依然需要进行分类: 当时,对称轴,若,;

,;

当时,对称轴,若,;

,,

综上,时,;

,. 评注:本小题在对去绝对值的过程中又求最小值,同时又涉及到对分段函数最值的求法,这就要求 学生在平时学习分类讨论过程中要注意"分类有方,讨论有据",同时也要做到"不重复,不遗漏". 再如:函数在区间上单调递增,则实数的范围是 .这题不仅考察对数函数的定义域,又涉及单调性,在对底数的分类过程中不仅要考虑底数,又要考虑的情形.答案是. 3.由数学运算引起的分类讨论 有一些数学运算本身就含有分类讨论思想,如除法运算中的除数不为零,不等式两边同乘(除)以一个数不等号的方向问题等. 例3:(08年江苏卷)设函数,若对于任意的,都有 成立,则实数的值是 . 分析:本题考查函数单调性的综合运用,因为又是恒成立问题,不难想到分离参数,在分离参数过程中,不等式两边同除以的时,要注意对的符号进行讨论, 时,不论取何值,恒成立;

时,可转化为令,在单调递增, 在上单调递减,;

时,可转化为令,在上单调递增,. 故综上. 二 可否避免分类讨论 通过上面的几个实例,不难看出分类讨论的过程一般比较繁琐,当分类标准选定时,稍不留意就会造成疏漏.那么在讨论前能不能克服思维常规,做到少讨论或者不讨论呢? 例4:已知关于的三个方程,,

其中至少有一个方程有实数根,求实数的范围. 分析:这是一道经典题,并已有了 "固定"的解法,就是所谓的"补集法",即若三个方程均无实根,则有,得;

故符合题意的实数的范围是.解题回避了对方程有实数根的个数的讨论,过程简洁,一气呵成. 其实,若 "正向"考虑此题,记三个方程有解的解集分别为,那么满足"至少有一个方程有实数根"的实数的解集就是,也即,这样处理也不难 . 例5:已知二次函数,是否存在实数,使的定义域和值域分别为和,如果存在,求出的值;

如果不存在,说明理由. 分析:该题定义域与值域都是动态的区间,如果按照常规解法需要讨论函数的对称轴与所给区间的位置关系,求出值域后,再结合条件求出.是不是可以避免分类讨论呢?不难发现函数,当时,对称轴,最大值为.而区间是的子区间,提示我们在区间上函数的值域也是的子区间,故.故在区间递增,得,解出. 例6:函数在区间的最大值与最小值和为,求值. 分析:看到这道题目我们第一反应是要对底数进行分类讨论,再结合函数的单调性,;