DOC《上册P314—316 习题解答》

0 X . 因此 , 整个扇形绕极轴旋转所成旋转体的体积为 . 求下列旋转体的体积 : ⑴ , 绕X轴;

解.绕X轴,> 绕Y轴;

解分别用和表示绕X轴和绕Y轴所成旋转体的体积 , 有..⑶星形线 , 绕X轴;

解.⑷旋轮线 . > 绕Y轴,> 绕直线 ;

解> . > 把X轴移到直线,旋轮线的方程化为 , . 旋轮线绕直线旋转相当于在新坐标系中绕X轴旋转 . 因此 , . ⑸ , 绕X轴;

解得到的旋转体是一个圆环体( 参阅华东师范大学数学系编《数学分析》上册P344 图11-11 ). 由于圆的上半圆曲线与下半圆曲线分别为 和,注意对称性 , 就有 . ⑹ 心脏线 , 绕极轴 ;

解(利用第6题⑵的公式 ) . ⑺ 对数螺线 , ,绕极轴 ;

解.由,解得 . 因此 , . ⑻ , 绕X轴;

解参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑾ ,极坐标方程为, 利用对称性 , 有.将抛物线在和的弧段分别绕X轴旋转后 ,所得到的 旋转体的体积相等 , 求与的关系 . 解时,对应的旋转体的体积为 . 令,得. 即与应满足式 . 记是曲线在的弧段绕X轴旋转所得旋转体的体积 . 求常数 , 使满足. 解 令,即, 解得 . 将椭圆绕X轴旋转得到一个旋转椭球体 , 再沿X轴方向用半径为 的钻头打一个穿心的圆孔 , 剩下的体积恰为原来椭球体体积的一半 , 求的值 . 解 由对称性 , 只考查右半椭球体 .设圆孔右半段 Y 的长为, 则穿孔后右半椭球体剩下的部分为 区域 X 绕X轴旋转得到的旋转体 , 其体积为 . 右半椭球体的体积是 . 令 =右半椭球体的体积之半 , 即令, 亦即 , 即解得 . 此时孔的半径 . 求下列旋转曲面的侧面积 : 绕X轴,> 绕Y轴;

解分别用和表示绕X轴和绕Y轴所得旋转曲面的侧面 . 不妨设 , 则.. 绕X轴;

解.绕X轴;

解,,

即.因此 , , 其中 . 注意对称性 , 有.⑷星形线 , 绕X轴;

解参陈纪修《数学分析》上册P317图形⑹ , 利用对称性 , 在上有 . . ⑸ 心脏线 , 绕极轴 ;

解.⑹双扭线 , > 绕极轴 , > 绕射线 . 解> 参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑾ , 注意利用对称性 . 方程 两端求导 , 有,..> . 证明 : 由空间曲线 , , , 垂直投影到OXY平 面所形成的柱面的面积公式为 . 这里假设 、和在中连续 . 证 该空间曲线在OXY平面上的投影为 :, ,,

相应于参 数, 上的弧段长 ,在该弧段上形成的柱面的面积 . 因此 ,整个空间曲线垂直投影到OXY平面所形成的柱面的面积为