DOC《2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）》

2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷) 参考公式: 样本数据,,

的方差,其中.

棱锥的体积公式:,其中是锥体的底面积,为高. 棱柱的体积公式:,其中是柱体的底面积,为高. 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1、函数的最小正周期为

2、设(为虚数单位),则复数的模为

3、双曲线的两条渐近线的方程为

4、集合共有 个子集

5、右图是一个算法的流程图,则输出的的值是

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲87

91 90

89 93 乙89

90 91

88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

7、现在某类病毒记作,其中正整数,(≤,≤)可以任意选取, 则都取到奇数的概率为

8、如图,在三棱柱中,分别是 的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体 积为,则

9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含 三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是

10、设分别是的边上的点,,

, 若(为实数),则的值为

11、已知是定义在上的奇函数.当时,,

则不等式的解 集用区间表示为

12、在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为, 右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为, 若,则椭圆的离心率为

13、在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点, 若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为

14、在正项等比数列中,,

,则满足……的 最大正整数的值为

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本小题满分14分) 已知向量,. (1)若,求证:;

(2)设,若,求的值.

16、(本小题满分14分) 如图,在三棱锥中,平面平面, ,,

过作,垂足为, 点分别是棱的中点. 求证:(1)平面平面;

(2).

17、(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系中,点,直线. 设圆的半径为,圆心在上. (1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线, 求切线的方程;

(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐 标的取值范围.

18、(本小题满分16分) 如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到. 现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,

. (1)求索道的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

19、(本小题满分16分) 设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,

其中为实数. (1)若,且成等比数列,证明:();

(2)若是等差数列,证明:.

20、(本小题满分16分) 设函数,,

其中为实数. (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;

(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论. 数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法,每小题5分,共70分. 1. 2.

5 3. 4.

8 5.3 6.

2 7. 8. 1:24 9. 10. 11. ∪ 12. 13.-1, 14.

12

二、解答题 15. 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分14分. 解:(1)由题意得,即, 又因为,所以,即, 故(2)因为,所以 由此得,,

由,得,又,故,代入得,,

而,所以,. 16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想像力和推理论证能力,满分14分. 证明:(1)因为AS=AB,AF⊥S,垂足为F,所以F是SB的中点,又因为E是SA的中点,所以EF∥AB. 因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC. (2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AF⊥SB. 所以AF⊥平面SBC,因为BC平面SBC,所以AF⊥BC. 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB平面SAB,所以BC⊥平面SAB. 因为SA平面SAB,所以BC⊥SA. 17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分. 解:(1)由题设,圆心C是直线和的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为, 由题意,,

解得或. (2)因为圆心在直线上,所以圆C的方程为 . 设点 ,因为=2, 所以,化简得,即,所以点在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意,点()在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即≤≤3. 由≥0,得R;

由≤0,得0≤≤. 所以点C的横坐标的取值范围为. 18. 本小题主要考查正余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分. 解:(1)在中,因为,,

所以 ,. 从而 . 由正弦定理,得(m). 所以索道的长为1040m. (2)假设乙出发分钟后,甲、乙两游客距离为,此时,甲行走了(100+50)m,乙距离处130 m,所以由余弦定理得 . 因0≤≤,即0≤≤8,故当=(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理,得(m). 乙从出发时,甲已走了(m),还需走710m才能到达. 设乙步行的速度为 m/min,由题意得≤≤3,解得≤≤,所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内. 19.本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分. 解:由题设. (1)由,得,又因为成等比数列,所以, 即,化简得,因为,所以. 因此,对于所有的,有. 从而对于所有的,有. (2)设数列的公差是,则,即,,

代入的表达式,整理得,对于所有的,有.令,,

,则对于所有的,有.在式中分别取,2,3,4,得,从而有 由②,③得,,

代入方程①,得,从而. 即,,

. 若,则由,得,与题设矛盾,所以. 又因为,所以. 20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数、方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分. 解:(1)令,考虑到的定义域为(0,+),故,进而解得, 即在(,+)上是单调减函数.同理,在(0,)上是单调增函数,由于在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(,+),从而≤1,即≥1.令,得.当时,;

当时,.又在(1,+)上有最小值,所以,即. 综上,有. (2)当≤0时,必为单调增函数;

当时,令, 解得,即,因为在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有≤-1, 即≤.结合上述两种情况,有≤. (i)当时,由以及,得存在唯一的零点;

(ii)当时,由于,,

且函数在上的图象不间断,所以在()上存在零点. 另外,当时,,

故在(0,+)上是单调增函数,所以只有一个零点. (iii)当0........