DOC《北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷》

北京市西城区2017 ― 2018学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 2018.

1 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若集合,,

则(A) (B) (C) (D) 2.下列函数中,在区间上单调递增的是 (A) (B) (C) (D) 3.执行如图所示的程序框图,输出的值为 (A) (B) (C) (D) 4.已知为曲线:(为参数)上的动点.设为原点,则的最大值是 (A) (B) (C) (D) 5.实数满足 则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 6.设是非零向量,且不共线.则 是 的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.已知,是函数的图象上的相异两点.若点,到直线的距离相等, 则点,的横坐标之和的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 8.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)的乘积等于常数.已知pH值的定义为,健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的可以为 (参考数据:,) (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内,复数对应的点的坐标为____. 10.数列是公比为的等比数列,其前项和为.若,则_ 11.在中,,

,的面积为,则____. 12.把件不同的产品摆成一排.若其中的产品与产品都摆在产品的左侧,则不同的摆法有____种.(用数字作答) 13.从一个长方体中截取部分几何体,得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图所示.该几何 体的表面积是____. 14.已知函数 若,则的值域是____;

若的值域是,则实数的取值范围是____.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)求在区间上的最大值. 16.(本小题满分13分) 已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表. 表1:某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 1月1日7:36 4月9日5:46 7月9日4:53 10月8日6:17 1月21日7:31 4月28日5:19 7月27日5:07 10月26日6:36 2月10日7:14 5月16日4:59 8月14日5:24 11月13日6:56 3月2日6:47 6月3日4:47 9月2日5:42 12月1日7:16 3月22日6:15 6月22日4:46 9月20日5:59 12月20日7:31 表2:某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 2月1日7:23 2月11日7:13 2月21日6:59 2月3日7:22 2月13日7:11 2月23日6:57 2月5日7:20 2月15日7:08 2月25日6:55 2月7日7:17 2月17日7:05 2月27日6:52 2月9日7:15 2月19日7:02 2月28日6:49 (Ⅰ)从表1的日期中随机选出一天,试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率;

(Ⅱ)甲,乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗,且两人的选择相互独立.记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数,求的分布列和数学期望. (Ⅲ)将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据(如7:31化为).记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,判断与的大小.(只需写出结论) 17.(本小题满分14分) 如图,三棱柱中,平面,,

. 过的平面交于点,交于点. (Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)求证:四边形为平行四边形;

(Ⅲ)若,求二面角的大小. 18.(本小题满分13分) 已知函数,其中. (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)证明:在区间上恰有个零点. 19.(本小题满分14分) 已知椭圆过点,且离心率为. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点.若直线上存在点,使得四边形是平行四边形,求的值. 20.(本小题满分13分) 数列:满足:,,

或. 对任意,都存在,使得,其中且两两不相等. (Ⅰ)若,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;

(Ⅱ)记.若,证明:;

(Ⅲ)若,求的最小值. 北京市西城区2017 ― 2018学年度第一学期期末 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2018.1

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.C

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.10.11. 12.13.14.;

注:第10,14题第一空2分,第二空3分.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为 [ 4分] [ 5分] 7分] 所以的最小正周期 8分] (Ⅱ)因为 , 所以 10分] 当 ,即时,11分]取得最大值为.13分] 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)记事件A为 从表1的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:00 , [ 1分] 在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:00, 所以 3分] (Ⅱ)X可能的取值为.4分] 记事件B为 从表2的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:00 , 则 5分] ;

;

8分] 所以 X 的分布列为: X

0 1

2 P 10分] 注:学生得到X ~,所以,同样给分. 13分] 17.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)因为 平面,所以 1分] 因为 三棱柱中,,

所以 四边形为菱形, 所以 3分] 所以 平面.4分] (Ⅱ)因为 ,平面,所以 平面.5分] 因为 平面平面,所以 6分] 因为 平面平面, 平面平面,平面平面, 所以 7分] 所以 四边形为平行四边形.8分] (Ⅲ)在平面内,过作. 因为 平面, 如图建立空间直角坐标系.9分] 由题意得,,

,,

,. 因为 ,所以 , 所以 . 由(Ⅰ)得平面的法向量为. 设平面的法向量为, 则即令,则,,

所以 11分] 所以 13分] 由图知 二面角的平面角是锐角, 所以 二面角的大小为.14分] 18.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)当时,,

所以 2分] 因为 4分] 所以曲线在点处的切线方程为.5分] 6分] 由 ,得 7分] 因为 ,所以.8分] 当时, 由,得.所以 存在唯一的, 使得 9分] 与在区间上的情况如下: J 极大值 K 所以 在区间上单调递增,在区间上单调递减.11分] 因为 12分] 且,所以 在区间上恰有2个零点.13分] 19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意得 ,,

所以 2分] 因为 3分] 所以 4分] 所以 椭圆的方程为 5分] (Ⅱ)若四边形是平行四边形, 则 ,且 6分] 所以 直线的方程为, 所以 7分] 设,. 由得,8分] 由,得.且,9分] 所以 . 10分] 因为 , 所以 . 整理得 12分] 解得 ,或13分] 经检验均符合,但时不满足是平行四边形,舍去. 所以 ,或14分] 20.(本小题满分13分) 解:3分] 注:只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分],有错解不给分. (Ⅱ)当时,设数列中出现频数依次为,由题意. ① 假设,则有(对任意), 与已知矛盾,所以 . 同理可证:5分] ② 假设,则存在唯一的,使得. 那么,对,有 (两两不相等), 与已知矛盾,所以.7分] 综上:, 所以 8分] (Ⅲ)设出现频数依次为. 同(Ⅱ)的证明,可得,,

则. 取, ,得到的数列为: . [10分] 下面证明满足题目要求.对,不妨令, ① 如果或,由于,所以符合条件;

② 如果或,由于,,

所以也成立;

③ 如果,则可选取;

同样的,如果, 则可选取,使得,且两两不相等;

④ 如果,则可选取,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立. 综上,对任意,总存在,使得,其中且两 两不相等.因此满足题目要求,所以的最小值为.13分] ........