DOC《[典型例题解析]》

[典型例题解析] 【例1】 关于两个互成角度(θ≠0°且θ≠180°)的初速度不为零的匀变速直线运动的合运动,下列说法正确的是 A.

一定是直线运动 B.一定是曲线运动 C.可能是直线运动,也可能是曲线运动 D.一定是匀变速运动 图5-2-1 解析:将两分运动的初速度、加速度分别合成(如图5-2-1所示),由于题目中没给两分运动v

1、v2及a

1、a2的具体数值,则合运动v合与a合方向即可能重合(物体做直线运动),也可能不重合(物体做曲线运动),故C项正确.又因两分运动a

1、a2均恒定,故a合恒定,合运动一定是匀变速运动,所以D项也正确. 答案:CD 规律总结 判断合运动的轨迹,关键是分析a合与v合方向关系;

判断合运动的性质,关键是分析a合大小及方向是否变化. 【例2】 已知某船在静水中的速率为v1=4 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,河水的流动速度为v2=3 m/s,方向与河岸平行. (1)今欲使船以最短时间渡过河去,航向怎样?最短的时间是多少?到达对岸的位置怎样?船发生的位移有多大? (2)欲使船以最短位移过河,航向又怎样?渡河所用时间是多少? (3)若水流速度v2=5 m/s,船在静水中的速率v1=4 m/s不变,船能否垂直河岸渡河?欲使船渡过河去的航程最短,航向怎样?最短航程是 多少? 解析:船同时参与了这样两个运动:①船相对于水的运动,其速度就是船在静水中的速度v1=4 m/s,方向与船头的指向相同;

②船随水漂流的运动,其速度等于河水流速v2=3 m/s,方向平行于河岸,与水流方向相同,指向下游.船在河水中实际发生的运动(站在岸边的观察者看到的运动)即是由上述两个运动合成的. 本题是运动的合成和分解知识在船只匀速渡河(一种理想情况)具体问题上的应用.本题的限制条件是:河岸线相互平行,河水流速v2恒定且平行于河岸指向下游,船在静水中的速度v1大小恒定. (1)根据运动的独立性和等时性,从题中已知河宽d=100 m的条件出发分析知,当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时,渡河所用时间才最短.设船头斜向上游且与上游河岸的夹角为α,其合速度v与分运动速度v

1、v2的矢量关系如图5-2-2所示.河水流速v2平行于河岸不影响渡河快慢.船在垂直河岸方向上的分速度v⊥=v1sinα,则船渡河所用时间为:t== 图5-2-2 由上式可知,当sinα=1即α=90°时.v⊥最大,t最小,此时船身垂直于河岸,航向(船头方向)始终指向对岸,如图5-2-3所示.最短时间为: tmin==s=25 s 图5-2-3 船渡过河时已在正对岸的下游A处,其顺水漂流的位移为: x=v2tmin== m=75 m 船的实际速度v的大小为: v== m/s=5 m/s 船发生的位移的大小(即线段OA之长)为s=vtmin=5*25 m=125 m. (1)航向(船头指向)垂直河岸时,航行时间最短.设河宽为d,则最短时间为:tmin=d/v1. (2)欲使船以最短位移过河,在船速v1=4 m/s大于水速v2=3 m/s的情况下,可使船头即航向斜向上游一定角度(设与上游河岸的夹角为θ),使船的实际速度(合速度v)的方向与河岸垂直指向正对岸,如图5-2-4所示.这时船的实际位移大小等于到河岸的距离d,位移最短,航程最短,称为船垂直于河岸渡河.由图可知:cosθ== θ=41°24′ 图5-2-4 即本题中欲使船以最短位移过河,航向(船头指向)应斜向上游,与上游河岸成角41°24′行驶. 此种情况下,渡河所用时间为: t=== s≈38 s. (2)在v1>v2时,船只垂直于河岸渡河(运动轨迹垂直河岸)航程最短(等于河宽),这时航向(船头)应斜向上游,与上游河岸夹角θ=cos-1. (3)当水流速v2=5 m/s,大于船在静水中的速率v1=4 m/s时,船就不能垂直河岸渡河了.欲使船渡过河去的航程最短,船的实际速度v的方向与垂直河岸的方向的夹角φ应为最小.如图5-2-5所示,以v2的矢尖为圆心,以v1的大小为半径画半圆,从v2的始端O向半圆作切线,则切线方向就是φ角最小时的方向,即实际速度v的方向(v与v

1、v2的矢量关系遵守平行四边形定则).船的实际航程最短,利用直角三角形知识可求得:cosφ==,φ=37° 图5-2-5 即当航向(船头指向)斜向上游且与上游河岸的夹角为37°时航程最短.其最短航程大小为: smin=== m=125 m. 在v1