PDF《能有暗香来》

2007年第46卷第11期 数学通报

31 节外生枝处 能有暗香来 ――研究性学习的一个案例 周金元 (浙江省衢州第三中学 324000)

1 问题的提出 .

・ 在高三复习到点与圆、直线与圆的位置关系 时,笔者为学生出了一道全日制普通高级中学教科 书《数学》第二册(上)(试验修订本・必修)上的例 题(P75例2): 已知圆C的方程为X2+,=,,

求经过圆上一 定点M(xo,Yo)的切线方程. i 由于是高三复习课,强调的是知识的前后联 系,使知识形成网络,以完善学生的认知结构,因此 提出如下问题: 师:(1)课本上的解法为什么要分点M在坐标 轴上和不在坐标轴上?有没有方法可避免分类讨论? 生1:因为要考虑到切线的斜率是否存在,所以 要分类讨论,若用向量处理,可避免分类讨论. 师:(2)若点M不在圆上,方程xox+YoY=户 表示的直线l与圆C的位置关系如何? 生2:若点M在圆外,则利用点到直线距离公式可 判断直线l与圆C相交;

若点M在圆内且异于原点,利 用点到直线距离公式可判断直线z与圆C相离. 生3:我想知道直线￡:z.z+YoY=,与点 M(.To,Yo)有何关系,直线l的位置如何定位. 师:请你讲一下,你是如何想到这一问题的? 生3:因为我以前曾做过如下题目:若点M(xo,yo) 在圆C:≯+夕一,之外,由点M向圆C作两切线, 切点分别为A,B,则过A,B两点的直线方程为z.z +YoY一,2,显然这条直线与C相交.若点M(xo,Yo) 在圆C:,+,=,之内,则直线XoX+YoY=r2与圆C相离,但过点M不能作圆C的切线,此时直线 XOX+YoY=rz有何性质呢?由此提出了如上问题.

2 课堂探究 师 我们注意到这两个复数Zl=口+bi,施= 口一臃具备一定的关系:实部相等,虚部互为相反 数,我们将这样的两个复数称为共轭复数 z=口+ 兢的共轭复数记作 z=口一臃. 联想一些根式:口+6√2与口一6√2.另外,关于 "共轭"两字以前涉及过吗?(引导学生前后联系,通 观全局) ._2 卫生我们曾学过"共轭"双曲线,鸶一告一土1 疗.,r 互为共轭双曲线. 师 课后思考:1)在复数范围内∥+夕Q,y ∈R)能因式分解吗? 2),+a=O(a>O)在复数范围内有解吗?解 为多少?(培养学生运用知识分析问题、解决问题的 能力) 小结 (1)首先我们掌握了复数的加法、减法、乘法的 运算法则,如同多项式加、减法、乘法法则一样―― 合并同类的原则. (2)解决问题时要充分理解题意、紧扣目标. (3)本节课学习的虽说是新的内容,但我们深 刻体会到所学知识都是在原有的知识基础上通过 我们认真的思考、大胆的猜想、合理的推理而获得 的.(鼓励学生积极探索,主动求知) 作业

1、证明:复数乘法的结合律

2、计算 (1)(5―3i)+(7―5i)一4i (2)(一2―4i)一(一2+i)+(1+7i)

3、计算 (1)(2―3i)(一5+f) (2)(1+i)(2+i)(3+i)

4、求满足下列条件的复数z: (1)名+(3―4i)=1 (2)(3一i)z=4+2i 万方数据

32 数学通报 2007年第46卷第11期师:生3提出的问题很好,教师也没有想过啊! 希望同学们在以后的学习中也能像生3这样自己去 提出问题. 是啊!点在圆上,方程XoX+YoY=,表示过该 点的切线;

点在圆外,方程勘z+弘y=,表示过两 切点的直线.无论点在圆上还是在圆外,方程XoX+ 弘y=,表示的直线都能定位,那么点在圆内,方程 岛z+执Y=r2表示的直线不能定位吗? (此时,课堂呈现热烈的气氛,经过一翻讨论、 思考、探索,有学生发表了如下看法.) 生4:因为以M(xo,Yo)为中点的中点弦的直线 方程为函z+yoy―X02+Y02,故方程勘z+yoy― o…2..Z 户表示的直线与中点弦平行且距离为L7等军=挚. ~/而'十∞' 生5:我的猜想是:以M(‰,Yo)为中点的中点 弦的两端点为A,B,则分别过A,B作圆的两切线, 两切线的交点可能在直线xox+执y=,上,但运算 量很大,还没有得到最终证明. 师:运算量很大,是知难而进,还是改变策略? 或许猜想是否根本就不成立? 生6:可先在特殊情形下试验是否成立,若不成 立,就可以否定猜想;