PDF《嗨,我自己的》

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4 ・ ∥锢怼4 1卷(2012年) 7期h t t p : oowww. w u l i . a c . c n 学成就中. 他们的现代物理学的两大支柱― ― ―量子 论、 相对论― ― ―也是建立在事关 自己的 概念碎石上 的. 不可否认的, 自伴随算符( s e l f adjointoperator)、本征值( e i g e n v a l u e ) 、 本征态( e i g e n s t a t e ) 是量子力学的 p i l l a r like(支柱型的) 概念, 而固有时( p r o p e r t i m e ) 、 固 有长 度(properl e n g t h) 和固有洛仑兹群(properLorentzg r o u p ) 则是相对论的p i l l a r like概念. 从中文 字面上看, 自伴随算符是有 自己的 内容, 而本征值、 固有时也约略有这么个意思, 但不如西文那么明显, 自然也影响对其内容的理解. 谈论s e l f adjoint之前, 先谈论a d j o i n t . A d j o i n t 似乎是个专有的数学用语, 我手头的字典没有关于 它的词源 解释. 我不知道它是否就是adjoin,反正adjoint在汉语数学文献中被翻译成 伴随 , 这应是 和a d j o i n同样的意思( b en e x t t oe a c ho t h e r ,如t h e t w oc o u n t r i e s a d j o i n( 两国为邻邦) . 在数学语言中, a d j o i n t是描述两个数学对象的关系, 如有公式( A x, y) =( x, B y) ( 先不管这个括号定义了什 么样的算 法) , 则称 Ai sa d j o i n t t oB ( A 算符是B 算符的伴 随) . 如果定义的是Hilbert空 间上的内积, 且有(Ax, y) =( x, A y) , 则Ai ss e l f adjoint(自伴随的) . 自伴随算符又称厄米特( H e r m i t i a n ) 算符. 自伴随算符乃量子力学的关键. 在量子力学的 语境中, 算符的意义在于其在( 复的) 波函数上的作 用结果, 因此自伴随算符的定义为 昙*1L2 d = 昙(L1) * 2d.对于实在的力学量, 量子力学要求其必须是厄米特算 符. 之所以这样是因为若算符为厄米特算符, 则有[

2 ] (

1 ) 厄米特算符的本征值( e i g e n v a l u e ) 是实的. 这样, 算符表达的力学量便是可测量量了, 可测量量 当然应该是实的;

( 2) 厄米特算符拥有一套正交的本征函数(eigenfunction).力学量的本征值被解释 为力学量 被测量时的结果. 这个诠释是 v o n N e u m a n n1

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8 年提出的[

3 ] ;

(

3 ) 厄米特算符的本征函数构成一套完备的基. 综合上述三条, 一个选定的力学量的本征函数 提供了一套正交完备的基, 或曰张开了一个 H i l b e r t 空间. 其它力学量的本征函数( 任何) 可以用该套完 备正交基表示为这些基的某个线性叠加, 也即是那 个Hilbert空间中的一个矢量.

4 ) 」饣暮映隽瞬涣牧, 那么, 一定是无穷多项的结果. 这是一个 无穷大会出乎意料 的证据. 一个人手中的钱、 权、 势 要是无穷大了, 其行为估计也不好理解. ― ― ―笔者注

5 ) ≌苎У 水平是一个国家文明的本质性标志. 你信吗? 反正我信. ― ― ―笔者注 自伴随算符的正交性好证明, 完备性的证明麻 烦一些[ 4] . 厄米特算符的完备性意味着其它函数可 以用该算符的本征函数展开. 这个完备性是如此强 大, 以至于锯齿波这样明显不连续的函数都可以表 示为正弦函数和余弦函数( 二阶微分算符的本征函 数. 处处光滑的函数呀) 的展开. 处处光滑的函数叠 加出了不连续的函数, 这是怎样的颠覆常识的、 革命 性的认识4 ) . 没有强大的数学武装的头脑, 谁信? 可 以想见当年傅里叶发现这个事实时, 会遭遇怎样的 反应. 一个厄米特算符作用到其某个本征函数上的结 果是在本征函数上乘个常数因子, 这个常数因子叫 本征值. 本征值( e i g e n v a l u e ) 和本征函数( e i g e n f u n c tion),来自德语的Eigenwert和 E i g e n f u n k t i o n , 其 中的e i g e n , 就是德语 自己的 、 特有的 的意思. 汉 译本征也许是 本身特征的 的缩写? E i g e n在德语 中的用法 其实也是大白话, 如 aufe i g e n e nF Yenstehen( 站在自己的脚上, 喻自立) , seine i g e n e r H e r rs e i n ( 做他自己的主人) ,至于像 Jedew a r i h re i g e n e sk l e i n e sB e w u s s t s e i n ( 每个人都是自己的小自我意识) 这种句子, 字其实蛮平淡, 只是我们 不习惯这么说话, 于是显得很高深、 很哲学5) . 本征 值连同相关的本征矢量可能最先是在研究矩阵时引 入的. 矩阵的概念来自对线性方程组的研究: 一个 n 变量的线性方程可以写成 A・x= c, 其中x, c都是n 卜至康氖噶, A 是个nn矩阵. 矩阵的研究, 将 线性方程的研究系统化了, 它还带来了很多意想不到 的新数学内容, 从而成为物理学必不可少的工具. 对 于矩阵A, 存在n个矢量x ,有A・ x = x ,这样的矢 量x 就是矩阵A 的e i g e n v e c t o r , 相应的常数顺莆e i genvalue,可由方程d e t ( A-I) =0得到, 其中的 I是个n n单位矩阵. 量子力学的第一种表述就是矩阵 力学, 在这之前矩阵已经在关于( 分子的) 振动的研 究中起着关键的作用了. 设若有n 个谐振子, 相互 之间是 耦合的, 则方程可写为d2x/dt2=A ・x, x 是描述 n 个谐振子位移的矢量. 这样对于那些满 足A・ x =x(........