PDF《普朗克黑体辐射定律的建立过程》

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0 0

5 c c R T R T c T T ν λ ? ν ν ? λ λ = = 或者 (3) 方程(3)称为维恩定律. 上式的意义在于把两个独立变量ν 和T的元函数

0 ( , ) R T ν 归纳为一个已知的函数

3 ν 和 一个宗量为 /T ν 的函数.这样就把一个寻找两个独立变量函数

0 ( , ) R T ν 的问题归结为找寻函数 ( / ) T ? ν 了. 下面我们看看维恩定律导出过程[3] .由于黑体辐射与空腔的材质和形状无关,不失一般性,不妨考查一 个管型容器辐射空腔,如图

3 所示.腔内有黑体辐射能量密度为

0 ( ) ρ ν ,管子的右端有一反射镜以速度 v 向外移动,设频率为ν的辐射以入射角为θ射向镜面,由纵向多普勒效应得反射后频率为cos

2 '

(1 cos ) cos c c c θ ν ν ν θ θ ? = ? + v v v .如果原频率为 图3管状辐射空腔 图4三种不同的黑体辐射公式与实验的比较

2 '

'

(1 cos ) c ν ν θ = + v (4) 则反射后频率变为 ν. Δt 秒内立体角 Δ? 的光线打到镜面的辐射能为

0 cos 4π E d c tA ρ ν ν θ ΔΩ Δ = Δ (5) 式中 d '

'

d (1

2 cos / ) c ν ν θ = + v .设入射辐射强度为 '

'

I ,辐射压

2 '

'

cos / P I c θ = 做功使得镜子外移,每秒做 功为 '

'

2 cos / PA I A c θ = v v .

0 '

'

( ) I A d ρ ν ν = 表示未做功前辐射到镜子的能量,于是由于光压做功镜子获 得能量将损失

0 ( )d

2 cos / c ρ ν ν θ v . 由(4)式得多普勒效应造成镜子的反射能量密度较入射前减小量为

0 0

0 2 cos ) c ρ ρ ν ρ ν ν θ ν ? ? = ? v (6) 这样考虑镜面对光的反射、光压做功的能量损失后,镜面获得辐射能的增量为

0 0

0 2

2 cos )][d d cos ] ( )d 4π c c ρ ρ ν ν θ ν ν θ ρ ν ν ν ? ΔΩ + + ? ? v v

0 2 ( )d cos } cos c tA c ρ ν ν θ θ ? Δ v

2 0

1 d cos 2π A t ρ ν ν θ ν ? = Δ ΔΩ ? v 式中忽略了 / c v 的二次项. 令,sin d d V A t θ θ ? Δ = Δ ΔΩ = v , 如图 3, 注意积分限的选取, 上式对立体角 ΔΩ 积分后,镜子获得辐射能量的增量为, 第32 卷第3期广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.32 No.3

2011 34 π/2 2π

2 0

0 0

0 0

1 1 d( )d d d cos sin d d d d 2π

3 V V V ρ ρ ρ ν ν ν θ θ θ ? ν ν ν ν ? ? = = ? ? ∫ ∫ 此方程整理如下的形式

0 0

0 1

3 V V ρ ρ ν ρ ν ? ? = ? ? ? .方程隐函数形式的解为

3 3

0 ( ) V ρ ν ? ν = (7) 式中

3 ( ) V ? ν 为未知函数. 辐射压

0 /3 p ρ = ,于是由热力学第一第二定律

0 d d( ) d T S V p V ρ = + 化为

0 0

4 d d d

3 T S V V ρ ρ = + (8) 将斯特藩-玻尔兹曼定律

4 0 '

T ρ σ = ( '

σ 为一常数)代入(8)式得

3 2 d

4 '

d /3

4 '

d S T V T V T σ σ = + .此方 程式的解为

3 4 '

/3 S T V σ = +常数 .管状空腔镜面移动为绝热过程,熵为一常数即

3 = T V 常数 ,将此关系代 入(7)消去 V 得30()Tνρν?=(9) 联合

0 0

4 R c ν ρ ν = 和(9)式即得维恩定律(3) . 维恩定律可以导出十分有用的维恩位移定律,事实上(3)式对 λ 微分并令其等于零得

0 d ( ) d ( , ) |

0 5 ( )

0 d m m m m m c R T T c T d T T λ λ ? λ λ ? λ λ λ λ 令,mT b λ ≡ 方程变为 d ( )

5 ( )

0 d b b b b ? ? ? + = , 原则上由此方程解出 b 即得维恩位移定律. 但由于 ( ) c T ? λ 是未知 的,无法从(3)式推出维恩位移定律中常数 b 的值.为拟合黑体辐射的实验数据,维恩假设气体分子辐射 的频率ν 只与其速度v 有关,猜了