PDF《普朗克黑体辐射定律的建立过程》

0 ( , ) R T ν 的一个经验公式,被称为维恩公式,

2 2 '

3 5

0 1

0 1 c c T T R T c e R T c e ν λ ν ν λ λ ? ? ? = = ,或者 (10) 这个结果只在高频部分和实验相符,而低频部分和实验不符合,见图

4 所示.

3 瑞利-金斯公式 另一个较为成功公式是基于经典电动力学和统计力学导出的瑞利-金斯公式,如图

4 所示瑞利-金斯公 式适用于低频部分的黑体辐射实验结果,在高频部分黑体辐射本领

0 ( , ) R T ν 趋向于无穷大,与实验矛盾,史 称紫外灾难.空腔内电磁波和腔壁做简谐振动的原子交换能量达到平衡时满足的条件是 T g T ρ ν ν ε ν = (11) ( , ) T ρ ν 为辐射场的谱能量密度,

2 3 ( )

8 / g c ν πν = 为单位体积,ν 附近单位频率区间内电磁波振动模式数目 [1] , ( , ) T ε ν 为空腔器壁原子做谐振动的平均能量.为了计算谐振子的平均能量 ( , ) T ε ν ,瑞利和金斯采用统 计力学中的能均分定理 /

0 /

0 ( , ) kT kT e d T kT e d ε ε ε ε ε ν ε ∞ ? ∞ ? = = ∫ ∫ 将上式代入(11)式得到黑体辐射的瑞利-金斯公式

0 0

2 4 2π

4 c c c R T T kT λ ρ ν λ λ = = (12) 很明显, 瑞利-金斯也符合维恩定律 (3) 式的形式, 不过没有出现位移的峰值. 黑体辐射的高频部分当 λ→0,

0 ( , ) R T λ →∞,实验结果是

0 ( , ) R T λ →0.瑞利-金斯公式和实验的矛盾表明,该公式在推导过程中使用的能 均分定理有问题,事实上求解谐振子平均能量时的积分表明瑞利、金斯默认了能量无限可分的观念.

4 普朗克黑体辐射公式 普朗克黑体辐射定律的建立过程

35 维恩公式(10)和瑞利-金斯公式(12)分别在黑体辐射的高频部分和低频部分成立,显然还需要一个 更好的公式在整个频率范围内都成立.谐振子的平均能量的维恩表达式为

2 1 ( , ) c T W T c e ν ε ν ν ? = ,相应的温度

2 1

1 1 ln W T c c ε ν ν = ? .1900 年普朗克从热力学的角度发现[4] ,谐振子的平均能量维恩表达式对应的熵对平均能量 的一阶导数

2 1

1 1 ln W W S T c c ε ε ν ν ? = = ? ? ,进一步得二阶导数

2 2

2 1 W W S c ε νε ? = ? ? 即221dSdε ε ? ~ ,而谐振子平均能量的 瑞利-金斯表达式为 ( , )RJ B T k T ε ν = ,得到

1 B RJ k T ε = ,熵对平均能量的一阶导数

1 B RJ RJ k S T ε ε ? = = ? ,熵对平均 能量的二阶导数

2 2

2 B RJ RJ k S ε ε ? = ? ? 即2221dSdε ε ? ~ . 既然黑体辐射的维恩公式和瑞利-金斯公式分别在高频和低频 区间成立,普朗克想到用内插法把维恩公式和瑞利-金斯公式综合起来导出的公式可能在整个频谱范围都成 立.于是普朗克把熵 S 对平均能量的二阶导数写为如下形式,

2 2 d d ( ) S α ε ε β ε = ? + 式中 , α β 拟合参数,上式积分并注意到 d

1 d S T ε = ,得谐振子的平均能量 /( )

1 T eβ α β ε = ? ,再由黑体特性(2)式、 平衡条件(11)式和维恩定律(3)式,考虑到腔内电磁波的振动模数

2 3 ( ) 8π / g c ν ν = ,普朗克得到了一个 完整描述黑体辐射谱的公式

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0 /

2

1 C T C c R T R T e λ λ λ ν λ ? = = ? (13) 普朗克的黑体辐射公式(13)包含了两个常量 C1 和C2,而不再使用参数 , α β .由内插维恩公式(10)和瑞 利-金斯公式(12)得到的黑体辐射公式(13)式能和当时最精确的黑体辐射实验结果相符合.

5 普朗克量子论 由于普朗克内插得到的黑体辐射公式(13)很准确的描述了黑体辐射的规律,以至于普朗克决心不惜一 切代价找到一个物理解释.经过两个月的奋斗他终于给出了一个同经典概念严重背离的物理解释[5].普朗克 的物理解释是黑体空腔器壁上的原子谐振子的能量是量子化的,而且谐振子与腔内电磁波的能量交换也是量 子化的.下面就看看普朗克如何基于谐振子能量量子化假说导出他的黑体辐射公式的. 将能量 E 划分为 P 个相等的能量单元ε ,于是有