PDF《2018 年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨》

GUANG DONG JIAO YU 广东教育・综合

2018 年第

10 期2018 年高考数学两道解析几何试题同一源头的探讨 文/广东仲元中学 严运华

2018 年全国高考数学I卷文科第20 题为: 设抛物线C: y2 =2x, 点A(2, 0), B(-2, 0), 过点 A 的直线 l 与C交于M, N 两点.

(1) 当l与x轴垂直时, 求直线BM 的方程;

(2) 证明:∠ABM=∠ABN.

2018 年全国高考数学I卷理科第19 题为: 设椭圆 C: x2

2 +y2 =1 的右焦点 为F, 过F的直线 l 与C交于 A, B 两点, 点M的坐标为 (2, 0). (1) 当l与x轴垂直时, 求直线 AM 的方程;

(2) 设点O为坐标原点,证明:∠OMA= ∠OMB. 以上两道试题, 无论题设条件, 还 是问题结论, 都具有极大的相似性, 只 是曲线的形状不同. 两道试题蕴含的本 质如何? 有怎样的联系? 对于上述文科卷试题的第二个问题, 可分别抽象出一般结论: 命题 1: 设抛物线 C: y2 =2px, 点A (2p, 0), B(-2p, 0), 过点 A 的直线 l 与C交于 M, N 两点. 则直线 BN、 BM 与x轴成等角. 证明:显然,直线l不与x轴重合, 设直线 l 的方程为 x=ty+2p, 联立抛物线方程得 y2 -2pty-4p2 =0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则y1+y2= 2pt, y1y2=-4p2 , 设直线 BM 和直线 BN 的斜率分别 为kBM, kBN, 则kBM+kBN= y1 x1+2p + y2 x2+2p = 2p(y1+y2)+y1x2+y2x1 (x1+2p)(x2+2p) , 而x1=ty1+2p, x2=ty2+2p, 代入上式 得kBM+kBN= 4p(y1+y2)+2ty1y2 (x1+2p)(x2+2p) , 将y1+y2=2pt, y1y2=-4p2 代入上式得 kBM+kBN=0, 则∠ABM=∠ABN;

故直线 BN、 BM 与x轴成等角. 若发现 A, B 两点的横坐标之和为 零, 可得出以下一般结论: 命题2: 设抛物线C: y2 =2px, 点A(m, 0), B(-m, 0)(m≠0), 过点 A 的直线l与C交于M, N 两点.则直线BN、 BM 与x轴成等角. 证明:显然,直线l不与x轴重合, 设直线 l 的方程为, x=ty+m, 联立抛物线方程得 y2 -2pty-2pm=0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则y1+y2=2pt, y1y2=-2pm, 设直线BM 和直线 BN 的斜率分别为 kBM, kBN, 则kBM+kBN= y1 x1+m + y2 x2+m = m(y1+y2)+y1x2+y2x1 (x1+m)(x2+m) , 而x1=ty1+m, x2=ty2+m, 代入上式得 kBM+kBN= 2m(y1+y2)+2ty1y2 (x1+m)(x2+m) , 将y1+y2=2pt,y1y2=-2pm 代入上式得 kBM+kBN=0, 则∠ABM=∠ABN, 故直线 BN、 BM 与x轴成等角. 对于其他形式的抛物线, 亦有类似 结论: 命题3: 设抛物线C: x2 =2py, 点A(0, m), B(0, -m)(m≠0), 过点 A 的直线l与C交于M, N 两点.则直线BN、 BM 与y轴成等角. 证明过程类似, 此处不再详述. 对于今年全国高考数学理科卷第19 题的第二个问题, 发现点 M 恰好是 椭圆准线与 x 轴的交点, 于是可以得出 如下结论: 命题 4: 过椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1 的右 焦点 F 的直线 l 与C交于 A, B 两点, 点M( a2 c , 0). 其中 c 为C: x2 a2 + y2 b2 =1 的 焦半距, 则直线 MA、 MB 与x轴成等角. 证明: 当直线 l 与x轴重合时, 结 论显然成立;

当直线 l 不与 x 轴重合时, 设直线 l 的方程为 x=my+c, 联立椭圆方程得(b2 m2 +a2 )y2 + 2b2 mcy-b4 =0, 设A(x1, y1), B(x2, y2), 则y1+y2= - 2b2 mc b2 m2 +a2 , y1y2=- b4 b2 m2 +a2 , 设直线MA 和MB 的斜率分别为kMA, kMB, 则kMA+kMB= y1 x1- a2 c + y2 x2- a2 c = c2 [y1(my2+c)+(my1+c)y2]-ca2 (y1+y2) (cx1-a2 )(cx2-a2 ) , 因此kMA+kMB= 2c2 my1y2-cb2 (y1+y2) (cx1-a2 )(cx2-a2 ) , 将y1+y2=- 2b2 mc b2 m2 +a2 ,y1y2=- b4 b2 m2 +a2 , 代入上式得kBM+kAM=0, 故直线 MA、 MB 与x轴成等角. 再探究发现: 点F和点 M 的横坐 标之积为a2 , 于是可将命题

3 进一步拓 展为: 命题 5: 设椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1, 过点N(n, 0) 的直线 l 与C交于 A, B 两点, 点M(m, 0). 且mn=a2 , 设O为坐标 原点, 则直线 MA、 MB 与x轴成等角. 证明: 当直线 l 与x轴重合时, 结 论显然成立;