PDF《正确的解答来自于透彻的理解》

收稿日期 : 2014\10\05 正确的解答来自于透彻的理解 江保兵 (安徽省枞阳县宏实中学 246700)

1 问题的提出 在最近高三理科的一次检测中 , 有这样 一道试题 : 设函数 f (x) =

1 3 x

3 - a

2 x

2 + bx + c , 曲线y=f(x)在点(0 ,f (0))处的切线方程为 y =

1 .

( Ⅰ )求b,c的值 ;

( Ⅱ )设函数 g(x)= f (x) +

2 x , 且g(x) 在区间( -

2 ,- 1)内存在单调递减区间 , 求实 数 a的取值范围 . 没想到 , 这道题几乎没有人得满分 , 更让 人诧异的是 , 有几个成绩优秀的同学第

2 问 求得的结果统统为 a

2 2] , 与标 准答案 a∈2 2)有着一个小小的差 距.为了弄清真相 , 在讲解这个题目时 , 笔者 特意请成绩优秀的甲同学上黑板板演 , 把他 做题的过程原原本本地写在黑板上 . 其解法 如下 : 解(Ⅰ)由题意得 :f′(0) =

0 ,f (0) =

1 , 解得 b=

0 , c =

1 . ( Ⅱ )g′(x) = x

2 - ax +

2 , 由题意 , 存在 区间 I 彻(-2,- 1) , 使得函数 g(x)在I上单 调递减 . 所以 ,愁x∈(-2,- 1) , 使得 g′(x)= x

2 - ax +

2 ≤

0 , 即x∈(-2,- 1)时,a≤ (x +

2 x )max = -

2 2 , 当且仅当 x =

2 x 骋x=-2时等号成立 . 所以满足要求的 a的取值范围是( - ∞ , -

2 2] . 再次仔细揣摩学生的答案 , 笔者这才恍 然大悟 , 学生错误的原因有二 : 其一是函数单调性与其导函数的关系没 有搞清楚 . 一般地 , 学生都认为 : 在某个区间 (a , b)内可导函数 y = f (x) ,f′(x) ≥

0 骋 函数 y = f (x)在(a , b)单调递增 ;

f′(0) ≤

0 骋 函数 y = f (x)在(a , b)单调递减 . 其二是全称命题与特称命题的关系 , 也即"存在"与"任意"的关系认识上有点混乱 .

2 刨根问底说单调性 人教 A 版选修 2\2 教材中对于函数单 调性与其导函数的正负关系给出如下描述 : 在某个区间(a , b)内,如果 f′(x) >

0 , 那么函 数y=f(x)在这个区间单调递增 ;

如果 f′(x)<

0 , 那么函数 y = f (x)在这个区间内 单调递减 . 这是我们利用导数解决函数单调 性的基本准则 . 例如

2014 年高考安徽卷理科 第18 题:例1设函数 f (x) =

1 + (1 + a)x - x

2 - x

3 , 其中 a>

0 , 讨论 f (x)在其定义域上的 单调性 . 解f(x)的定义域为 R , f′(x)=

1 + a -

2 x -

3 x

2 = - 3(x - x1 )(x - x2 ) , 其中

6 1 数学教学研究 第34 卷第

4 期2015 年4月x1 = -1 -

4 + 3a

3 , x2 = -1 +

4 + 3a

3 . 当xx2 时,f′(x)<

0 ;

当x1 < x < x2 时,f′(x) >

0 . 故f(x)在( - ∞ ,x1 )和(x2 ,+ ∞ )单调 递减 ;

在(x1 , x2 )单调递增 . 但反过来 , 函数 y = f (x)在这个区间(a , b)内单调递增 , 有橙x∈(a , b) ,f′(x) >

0 吗?这个结论明显是错误的 . 例如函数 f (x) = x

3 在R上单调递增 , 但它的导函数 f′(x) ≥

0 , 因此 , " f′(x)> 0( f′(x)< 0)在某区间 I 上恒 成立"是"函数 y = f (x)在区间 I 内单调递增 (递减)"的充分不必要条件 . 由此 , 我们产生一种想法 : " f′(x) ≥

0 (f′(x) ≤ 0)在某区间 I 上恒成立"是不是"函数y=f(x)在区间 I 内单调递增(递减)"的 充要条件 ? 我们来看一个案例 . 例2已知函数 f (x) = ax +

1 x +

1 在区间 ( -

1 ,+ ∞ )上是增函数 , 求实数 a 的取值范 围.解析 对函数 f (x)= ax +

1 x +

1 求导 , 得f′(x)= a(x + 1) - (ax + 1) (x + 1)

2 = a -

1 (x + 1)

2 . 又已知 f (x)在区间( -

1 ,+ ∞ )上是增 函数 , 当f′(x)= a -