PDF《正确的解答来自于透彻的理解》

1 (x + 1)

2 ≥

0 时,解得 a≥

1 . 当a=1时,f ( x) = ax +

1 x +

1 =

1 , 这时 f (x)为常数函数(注意这时 f′(x) ≥ 0) , 不合 题意 . 故实数 a的取值范围为(1 ,+ ∞ ) . 由这个例子 , 我们看到这个结论也是错 误的 . 常数函数 f (x) = c 在R上的导函数 f′(x) ≥

0 , 但它并不单调递增 . 因此 , " f′(x) ≥ 0( f′(x) ≤ 0)在某区间 I 上恒成立"是"函数y=f(x)在区间 I 内单调递增(递减)"的 必要不充分条件 . 这样 , 我们不禁要问 : 函数 y = f (x)在区 间I内单调递增(递减)到底有没有充要条件 呢?如果有 , 它到底是什么呢 ? 其实很简单 , 这时 , 我们只要注意摆脱 f (x) = c 这类常数 函数的影响即可 . 在某个区间(a , b)内可导函数 y = f (x) , 如果 f′(x)在(a , b)任意子区间内都不恒等 于0.则有 :f′(x) ≥

0 骋 函数 y = f (x)在(a , b)单调递增 ;

f′(x) ≤

0 骋 函数 y = f (x)在(a , b)单调递减 . 例3已知函数 f (x)= ax

3 + 3x

2 - x +

1 在R上是减函数 , 求实数 a的取值范围 . 解 对函数 f (x) = ax

3 + 3x

2 - x +

1 求导,得f′(x) =

3 ax2 +

6 x -

1 . 已知 f (x)在R上是减函数 , 且f′(x)在R任意子区间内都不恒等于

0 , 所以 f′(x) ≤

0 在R上恒成立 , 解得 a≤ -

3 . 故实数 a的取值范围为(3]

3 顺藤摸瓜谈"存在"与"任意" 让我们把目光再次回到原题 . 在原题中 , g(x)在区间 ( -

2 ,- 1)内存在单调递减区 间,所以 :愁x∈(-2,- 1) , 使得 g′(x) = x

2 - ax +

2 ≤

0 , 即a≤(x +

2 x )max = -

2 2 , 这 个推理正确吗 ? 显然这又是一个错误的结 论.比如 : a= -

2 2时,g′(x) = x

2 +

2 2 x +

2 = (x + 2)

2 ≥

0 , 原函数 g(x)在区间( -

2 , - 1)单调递增 . 那么我们的推理又出了什么 问题呢 ? g′(x)= x

2 - ax +

2 ≤

0 是什么意思 呢?它的意思是说 ,g′(x)=

0 或者 g′(x)<

0 这两个中有一个成立就可以了 . 这一点 , 相当 于6≤6和6≤8都是正确的命题一样 . 这样 愁x∈(-2,- 1) , 使得 g′(x)= x

2 - ax +

2 =

0 与g′(x)= x

2 - ax +

2 <

0 只要有一个成立 , 前者显然不能保证 g(x)在区间 ( -

2 ,- 1) 内存在单调递减区间 . 事实上 g( x)在区间 (下转第

35 页)

7 1 第34 卷第

4 期2015 年4月数学教学研究 自我体验建构 . 总之 , 体验性学习以原生态的课堂为学 生呈现纯自然的学习环境 , 以主体的有效体 验来获取知识与能力 , 是实现师生互动交流 、 增强学生情感体验 、培养学生实践能力和创 新意识的重要学习形式 , 也是促进学生学会 学习 、 学会交往的重要形式 , 需要教师不断探 索,让这种学习形式更合理 、更有效 , 从而使 数学课堂真正成为数学体验性学习的殿堂 . 参考文献 [1] 中华人民共和国教育部 . 普通高中数学课程标 准(实验)[M ] . 北京 : 人民教育出版社 ,

2003 . [2] 朱贤良 . 重体验 重思想 更高效 ――― 一道模 考试题讲评课的案例与总结[J] . 数学教学研 究,2013 , 32(6) . [3] 林婷 . "体验性学习"在数学课堂教学中的尝试 [J] . 中学数学研究 ,

2007 , (6) . (上接第

17 页) ( -

2 ,- 1)内存在单调递减区间 , 由于 g(x) 的导函数 g′(x)是一个连续函数 , 所以必存 在x∈(-2,- 1) , 使得 g′(x) = x

2 - ax +

2 <

0 , 否则的话 , 如果任意 x ∈ ( -

2 ,- 1) , 使得g′(x)= x

2 - ax +