PDF《2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题参考答案》

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2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学

(一)试题参考答案

一、选择题:1~8 小题,每小题

4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1、当时,若与是同阶无穷小,则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,所以选 C.

2、设函数 则是的A. 可导点,极值点. B. 不可导点,极值点. C. 可导点,非极值点. D. 不可导点,非极值点. 【答案】B 【解析】 ,所以连续. 又 ,所以不可导. 在 的去心左右领域内异号,所以是极值点.选B.

3、设 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取 ,则 A 不对;

取 ,则 B、C 不对;

而D选项: , 存在极限. 选D.

4、 设函数 如果对上半平面 内的任意有向光滑封闭曲线 都有 , 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ 那么函数 可取为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】曲线积分与路径无关,则连续的偏导数 ,所以 C 不选( 不连续),选D.

5、设是阶实对称矩阵, 是 阶单位矩阵. 若 ,且 ,则二次型 规范形为 A. B. C. D. 【答案】C 【解答】由 ,可知矩阵的特征值满足方程 ,解得, 或.再由 ,可知,所以规范形为 故答案选 C.

6、如图所示,有 张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 ,则A. B. C. D. 【答案】A. 【解答】因为 张平面无公共交线,则说明方程组 无解,即.又因为 张平面两两相交,且交线相互平行,则齐次方程组 只有一个线性无关解,所以 . 故答案选 A.

7、设 为随机事件,则 充分必要条件是 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ;

选C.

8、设随机变量 和 相互独立,且都服从正态分布 ,则A. 与 无关,而与 有关. B. 与 有关,而与 无关. C. 与,都有关. D. 与,都无关. 【答案】A 【解析】 ,所以 ;

选A新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/

二、填空题:9~14 小题,每小题

4 分,共24 分.

9、设函数 可导, ,则.【答案】 【解答】因为 , , 所以

10、微分方程 满足条件 的特解 . 【答案】 【解答】因为 ,可得 ,两边积分可得 代入 ,得 ,故

11、幂级数 在 内的和函数 . 【答案】

12、设 为曲面 的上侧,则.【答案】 【解答】 .

13、设为阶矩阵. 若 线性无关,且 ,则线性方 程组 的通解 为.【答案】 ( 为任意常数). 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ 【解答】由条件 可知 线性相关,又 线性无关,所以 . 由此可知方程组 的基础解系只包含一个线性无关解向量. 再由 可得 ,所以可取 为一个非零解,故通解为 ( 为任意常数).

14、设随机变量 的概率密度为 为 的分布函数, 为 的数学期望,则.【答案】 【解答】由条件可得 ,且可求得分布函数 故可得 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/

三、解答题:15~23 小题,共94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、 (本题满分

10 分) 设函数 是微分方程 满足条件 的特解. (1)求;

(2)求曲线 凹凸区间及拐点. 【解】 (1)可知方程为一阶线性方程,由通解公式可得通解为 ,再由 ,解得 ,故特解为 (2)因为 , , 由得,再由二阶导数的符号可得 凹区间为 ,凸区间为 ,拐点为