PDF《2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题参考答案》

16、 (本题满分

10 分) 设 为实数,函数 在点 处的方向导数中,沿方向 的方向导数最大,最大值为 (1)求;

(2)求曲面 的面积. 解:(1) ;

方向导数沿梯度的方向时最大,此时为梯度的模;

而梯度 , 所以 ,且 ,解得 . (2) ,所以所求面积 .

17、求曲线 与x轴之间图形的面积 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ 解:设在区间 上所围的面积记为 ,则;

记,则 , 所以 ;

因此 ;

(这里需要注意 ) 因此所求面积为 .

18、 (1)证明数列 单调递减;

且求(1)证明: ,所以 单调递减. 从而有 ;

(2)因为 ,而 ,由夹逼准则知 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ .

19、设Ω是由锥面 与平面 围成的锥体,求Ω的形心坐标. 解: 设形心坐标为 ,由对称性知, ,且有 , , 令则,所以, 故,.因此形心坐标为

20、设向量组 为 的一个基, 在这个基下的坐标 . (1)求a, b,c;

(2)证明 到 的过渡矩阵. (1)解:易知向量组 线性无关,则其行列式不为零,即.由可得 从而 . 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ (2)因为 ,因为也是 的一个基;

设过渡矩阵为 ,则有 ,从而 21.已知矩阵 与 相似. (1) 求,;

(2) 求可逆矩阵 使得 . 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有 又,,

所以 . (2)易知 的特征值为 ;

因此 ,取,,

取 , ,取令,则有 ;

新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ 同理可得,对于矩阵 ,有矩阵 , ,所以 ,即 ,所以 .

22 、 设随机变量与相互独立,服从参数为1的指数分布,的概率分布为,,

( ),令.(1) 求 的概率密度;

(2) 为何值时, 与 不相关;

(3) 与 是否相互独立? 【解】 (1) 的分布函数为 ,因为 与 相互独立,且 的分布函数为 因此, 所以, 的概率密度为 (2) 当时, 与 不相关. 因为 , ,故(3)不独立. 因为 , 而 ,故 , 所以 与 不独立.

23、 (本题满分

11 分) 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/ 新东方网考研频道 http://kaoyan..xdf.cn/ 设总体 的概率密度为 是已知参数, 是未知参数, 是常数. 是来自总体 简单随机样本. (1)求;

(2)求 的最大似然估计量. 【解答】 (1)由密度函数的规范性可知 ,即,得(2)设似然函数 , 取对数 ;

求导数 , 令导数为零解得 , 故 的最大似然估计量为 . ........