PDF《3.2 晶格振动的量子化-声子》

3.

2 晶格振动的量子化-声子 参考黄昆书 3.1节(p79-82) 及p88-92 Kittel 书4.3和4.4 两节 一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一.简谐近似和简正坐标: 从经典力学的观点看,晶格振动是一个典型的小振动 问题,由于质点间的相互作用,多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了. 本节采用简正坐标重新处理.(见黄昆书p79-82) N个原子组成的晶体,平衡位置为 ,偏离平衡位置的 位移矢量为: 所以原子的位置表示为: 势能在平衡位置展开: 只保留 的二次项称作简谐近似.N个原子体系的动能函数 为: 系统总能量 ,由于势能项中包 含有依赖于两原子坐标的交叉项,这给理论表述带来了困难, 同时,由于 的变化可以是连续的,所以总能量也是连续 的.这是经典力学描述的结果. 为使系统的势能和动能表示更加简化,现引入简正坐标: 引入简正坐标的目的是为了使系统的势能函数和动能函数具有 简单的形式,即化为平方项之和而无交叉项.由于动能函数是 正定的,根据线性代数理论,总可以找到这样的线性变换,使 动能和势能函数同时化为平方项之和(具体过程可以参见陈长 乐《固体物理学》P76-78,李正中《固体理论》P29-31),即: 系统的拉格朗日函数为: 哈密顿量: 正则动量: 系统的拉格朗日函数为: 哈密顿量: 经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项,成为我们所熟知 的经典谐振子哈密顿量之和,也就是说在新的坐标系里,系 统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动,即用简正坐标 来描述独立的简谐振动. 应用正则方程得到: 任意简正坐标的解: 正则动量: 系统振动由 3N个独立的谐振子来表述 设晶体包含N个原子,有3N个自由度 对应3N个偏离平衡位移矢量分量: 引入约化坐标: 则系统哈密顿量 取平衡点势能为零,略去高次项 引入正交变换: 晶体中原子间的耦合振动,在简谐近似下也可以 用3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述.由于简正 坐标 Qi 是各原子位移量的某种线性组合,所以一个简 正振动并不是表示一个原子的振动,而是整个晶体所 有原子都参与的运动. 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的 共同振动常被称作晶体的一个振动模. N个原胞,每个原胞 n个原子的晶体总共有 3nN种 振动模.或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述. 引入简正坐标后,我们可以方便地转入用量子力 学的观点来理解晶格振动问题,这才是最为重要的. 二. 晶格振动的量子化: 经坐标变换后写出体系经典哈密顿量可以直接作为量子力 学的出发点,写出波动方程: 显然方程表示一系列相互独立的简谐振子,对于其中每一个 简正坐标都有: 谐振子的解是大家熟知的: 而系统本征态的能量为: 通过经典力学,我们已经获得晶格振动频率ω的表达式. 独立谐振子能量量子化 是量子力学的结论. 谐振子的基态能量并不为0,而是大于0: 这个E0称为零点能.当温度趋于绝对零度时,晶格振动处 于基态,但按照量子力学的观点,作为量子谐振子,它们 依然振动着.能量量子化和零点能的存在是量子振子区别 于经典振子的两大特点,它们都是粒子波动性的体现.能 量量子化由于粒子de Broglie波的自身干涉;

零点能的存 在是源于粒子de Broglie波所固有的不确定关系.就平均 而言,当粒子数越大,量子结果和经典结果越接近. 显然,一旦找到了简正坐标,就可以直接过渡到量子理 论.每一个简正坐标,对应一个谐振子方程,波函数是以简 正坐标为宗量的谐振子波函数,其能量本征值是量子化的, 所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶 格振动的最基本的特征. 从量子力学的观点看,表征原子集体运动的简谐振子的 能量是量子化的,每个振动模式能量的最小单位 .这种 能量量子化的晶格振动集体激发态被称为声子(Phonon). 这是晶格振动量子理论最重要的结论. 在经典理论中,势能函数是连续的,量子理论修正了这 个错误,而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描 述的观点,因而按经典力学求出的色散关系是正确的,量子 理论并没有改变其结论,只是对各模式振幅的取值做了量子 化的规定. 声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子 集体--晶体带来了极大方便,而且生动地反映了晶格 振动能量量子化的特点.这种高度抽象化出概念是固体 物理的一大特征,他们被称作元激发(Elementary excitation) 元激发方法就是把有强相互作用的多粒子体系化成准粒 子的气体问题来处理的一种方法,元激发正是针对着我们 各种不同物理问题提出来得一类准粒子. 固体物理中的元激发很多,如能带中的电子、空穴、等 离激元、极化子、磁振子、声子等. 现代固体理论都是建 立在这套处理方法之上的 声子是固体中重要的元激发. 三. 声子: 声子是晶格振动的量子模. 声子具有能量 ,也具有准动量 ,它的行为类似 于电子或光子,具有粒子的性质.但声子与电子或光子是 有本质区别的,声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元,它不能脱离固体而单独存在,它并不是一种真实 的粒子.我们将这种具有粒子性质,但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子.所以,声子是一种准粒子. 而光子是一种真实粒子,它可以在真空中存在. 一种格波即一种振动模式称为一种声子,对于由N个原胞 (每个原胞有n个原子)组成的三维晶体,有3nN 种格波, 即有 3nN种声子.当一种振动模式处于其能量本征态时,称这 种振动模有ni 个声子. 当电子或光子与晶格振动相互作用时,总是以 为单 元交换能量,若电子交给晶格 的能量,称为发射 一 个声子;