PDF《第七章 金属电导理论》

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1 1 ( '

) k f r k t k k f k f k k k f k f k t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中碰撞项的表示比较复杂,根据量子力学可以写出: ? ? ? ? '

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k k k k ? ? 分别是电子从 k'

态到 k 态,或者 反之的跃迁几率. 其中: ? ? ? ? ? ?

3 3 d

1 ,

8 k a f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k ? ? ? ? ? ?

3 3 d

1 ,

8 k b f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k 代表了单位时间内由于碰撞而离开(r,k)处单位体积的 电子数. 代表单位时间内因碰撞进入(r,k)处相空间单位体积内 的电子数. 代表单位时间内从 k'

态进入 k 态的 几率.该式考虑了泡利不相容原理. ( '

, ) k k ? Boltzmann方程的理解: 左边两项称漂移项(drift term), 右边的项称为碰撞项(collision term)或散射项(scattering) 按照半经典模型: d

1 ( ) ( ) d d d n k n n r k E k t k F e E r t k B r t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Boltzmann方程就是从能带结构出发,利用这些关系,将 碰撞的作用与分布函数相联系,成为处理固体中输运现 象的出发点. f f b a ?? ? ?? ? ? ? r k v k 下面我们讨论一维定态的导电问题时(比如一根均匀 导线内的情形),分布函数和位置 r 无关,第一项为零, 又因为: d d k e t ? ? ? ? 玻尔兹曼方程可以简化为: ( ) k e f k b a ? ? ? ? ? ? 简化后,玻尔兹曼方程仍是一个微分-积分方程,碰 撞项( b C a )的积分中还包含有未知的分布函数,在一 般情况下,该方程得不到简单的解析形式解,要采用近似 方法才行.(关键是碰撞项的积分求解困难很大) 是电场强度 ? 6.2 弛豫时间近似和电导率公式:

0 coll ( , , ) ( ) f r k t f f b a t k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一个广泛应用的近似方法是弛豫时间近似,碰撞项可以 表示为: 其中: f0 为处于平衡态时的Fermi-Dirac分布函数, ? (k) 是引入的参量,定义为弛豫时间,是k的函数. 这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的 特点.若系统原来不平衡,即t=0时, f = f0+?f (t = 0), 在t=0时撤去外场,若只有碰撞作用时, 对平衡的偏离 ?f (t = 0)应很快消失.关于弛豫时间近似的假设认为,碰 撞促使对平衡分布的偏差是以指数的形式消失,因为,只 有碰撞时:

0 f f f t ? ? ? ? ? ? (参考黄昆书6.4节p296) 对t积分得到的解是: ? ? ? ? ? ?

0 0 exp t t f t f f f t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以,弛豫时间 ? 大致就是系统恢复平衡所用的时间. 于是,Boltzmann方程可简化为

0 ( ) e f f f k ? ? ? ? ?? ? ? ? k 这个方程的解就是在电场 存在时定态的分布函数 . ? f 可以认为非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小,

0 1 f f f ? ? 上式简化为: 这里 是一个小量,采用一级近似

1 f

1 0 ( ) e f f k ? ? ? ?? ? ? ? k

0 1 f e f k ? ? ? ? ? ? ? f1为小量时

0 ( ) ( ) e f k f k ? ? ? ? ? 即:在恒定电场作用下,在k空间中,非平衡分布相当于费 米球刚性平移 的结果 ( / ) e?? ? ? 在等温条件下,在均匀静电场中,上式可以写作:

0 1 f f e v E ? ? ? ? ? ?

1 ( ) ( ) n n k v k E k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 平衡态分布函数 对电流没有贡献.我们可以简单 地采用一级项 来得到非平衡态对电流的贡献:

0 f

1 f ? ?

1 3

2 d

2 e J vf k ? ? ? ? ? ? ? ? 原则上,晶体的电导率是一个张量,为了方便,我们假 定能带是各向同性的,具有抛物线形状,且让电场明确 沿z方向(只积分 ),可以给出:(见黄昆书p299- 300)