PDF《第一章 真空中的静电场》

dS ? d S S q θ dS 而故则(同S 处) ? π q d

4 0 ε d? π q Φe

0 4 d ε = ,

4 2 0r π q E ε = ? r S θ S d d cos d

2 = ′ = θ S E S E Φe cos d d d = ? = r r ? π q Φ S e d

4 0 ∫∫ = ε ∫∫ = S ? π q d

4 0 ε 穿过闭面S 的电通量等于闭面包围的电荷除以ε0

0 ε q = 设dS与q距离r,穿过dS 的电通量 r r 3. 穿过不包围点电荷q任意闭面的电通量 E r S d S′ d E ′ r q 由 穿过闭面S 的电通量等于闭面包围的电荷除以ε0 方法同上

0 2

4 d d d d ε π ? q ? Er S E Φe ? = ? = ? = r r

0 2

4 ε π ? d q ? d r E S d E Φ d e = ′ ′ = ′ ? ′ = ′ r r

0 d d = ′ + ∴ e e Φ Φ ∫∫ = ? = ∴

0 S d E Φe r r ? d n′ r n r s r r′ 4. 穿过包围多个点电荷闭面的电通量 设闭面包围m 个点电荷 闭面上处处有 即则或穿过闭面S 的电通量等于闭面包围的电荷的代数和除以ε0 , , , ,

2 1 m q q q L m E E E E r L r r r + + + =

2 1 m e Φ Φ Φ Φ d d d d

2 1 + + + = L m e Φ Φ Φ Φ + + + = L

2 1

0 2

1 ) ( ε m e q q q Φ + + + = L S θ E S θ E S θ E S θ E m m d cos d cos d cos d cos

2 2

1 1 + + + = L 高斯定理: 其中,V是闭面S 所包围的空间 或―― 的散度 由高斯公式 得∑∫∫ = ? V i S q S E

0 1 d ε v v V ρ S E V S d

1 d

0 ∫∫∫ ∫∫ = ? ε r r ρ E

0 1 ε = ? ? r V A S A V S d ) ( d ∫∫∫ ∫∫ ? ? = ? r r r E r 静电场中穿过任一闭面的电通量等于闭面内电荷 的代数和除以真空的介电常数ε0 1) 闭合面内、外电荷的贡献 2) 静电场性质的基本方程―― 3) 源于库仑定律 高于库仑定律 4) 微分形式 ? ? = r E

1 0 ε ρ r E 都有贡献 对∫∫ ? S S d E r r 对电通量 的贡献有差别 只有闭合面内的电量对电通量有贡献 有源场 说明: 常见的电量分布的对称性: 球对称 柱对称 面对称 (均匀带电) 点电荷 球体 球面 无限长 柱体 柱面 带电线 无限大 平板 平面 对电量的分布具有某种对称性的情况下,用高斯定 理求解电场较简便. 四. 高斯定理的应用 例题7:点电荷q 的场强. 设任一点P 至电荷距离为r ,以电荷为中心、 r 为半径 作球面S,则P点在S上.由于静电场的分布是球对称 的,所以穿过高斯面S 的电通量 根据高斯定理

2 4 d d cos d r π E S E S θ E S E S S S = = = ? ∫∫ ∫∫ ∫∫ r r

0 S d ε q S E = ? ∫∫ r r

2 0

4 r π q E ε = ∴

3 0

4 r π r q E ε r r = 例题8 :均匀球面电荷的场强分布. a) 设球面外任一点P 至球心r ,以r为半径作同心球 面S1,则P点在S1上.由于静电场的分布是球对称 的,所以穿过高斯面S1 的电通量 根据高斯定理: 设球面电荷半径为R ,电量q沿球面均分. 同位于中心的点电荷q 的场

2 4 d d cos d

1 1

1 r π E S E S θ E S E S S S = = = ? ∫∫ ∫∫ ∫∫ r r

0 S1 d ε q S E = ? ∫∫ r r

2 0

4 r π q E ε = ∴

3 0

4 r π r q E ε r r = 高斯定理: 均匀球面电荷内外电 场的分布曲线

0 (rR) 综上 b) 设球面内任一点Q至球心r ,以r为半径作同心球 面S2,则Q点在S2上. 由于静电场的分布是球对称 的,所以穿过高斯面S2 的电通量 ∫∫ ∫∫ = ?

2 2 d cos d S S S θ E S E r r

2 4 d

2 r π E S E S = = ∫∫

0 d

2 S = ? ∫∫ S E r r

0 = ∴ E ? ? ? = E

2 0

4 r π q ε 例题

9 : 均匀球体电荷的场强分布. a) 设球体外任一点P 至球心r ,以r为半径作同心球面S1,则P点在S1 上.由于静电场的分布是球对称 的,所以穿过高斯面S1 的电通量 根据高斯定理 设球体电荷半径为R ,电量q沿球体均匀分布. 同位于中心的点电荷q 的场 ∫∫ ∫∫ = ?