PDF《三十里技之三十六技：区间估计靠枢轴,分位定义应明确,》

2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 教务

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tsinghuatutor.com 三十里技之三十六技:区间估计靠枢轴,分位定义应明确, 假设检验步骤定,两类错误会计算. 【相关知识点】 ? 枢轴变量与区间估计的方法 ? 假设检验的两类错误 ? 正态总体的参数的假设检验 例题 区间估计的求法(关键待估参数的枢轴变量的确定) A:单正态总体的期望和方差 B:双正态总体的期望差和方差比 例36-1. 假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单样本值. 已知 Y = ln X ~ N(μ, 1). 则μ 的置信度为 0.95 的置信区间为 (附表 z 0.05=1.64 和z0.025=1.96) 【解】 ( 0.98, 0.98). 例36-2. 设X1, X2, …,Xn是总体N(μ, 0.8

2 )的大小为n的简单样本. 为使μ 的0.95 的双侧 置信区间长度不超过 1.0, 则样本容量n至少应该取 . 附表 z 0.05=1.64 和z0.025=1.96 【解】至少应取 10. 例36-3. 假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单样本值. 已知 Y = ln X ~ N(μ, 1). (1) 求X的数学期望 EX (记EX 为b);

(2) 利用上面结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间. 【解】 (1) ;

2 /

1 + = μ e EX (2)( , )

48 .

0 ? e

48 .

1 e 【注】A:待估参数的函数的区间估计 B:单侧置信区间 例36-4. 为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用一种新的催化剂. 为慎重起见, 在实验 清华大学东门外创业大厦

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网址: www.tsinghuatutor.com 工厂先进行试验. 设采用原来的催化剂进行了n1 =

8 次试验, 得到得率的平均值

1 x = 91.73, 样 本方差 . 又采用新的催化剂进行了n

89 .

3 2

1 = s

2 =

8 次试验, 得到得率的均值

2 x =93.75, 样 本方差 . 假设两总体都可认为服从正态分布, 且方差相等, 试在置信度为 1?α 的要求下完成下列要求(分布的百分位点用通常表达)

02 .

4 2

2 = s (I) 两总体均值差μ

1 ?μ 2的置信度为 0.95 的单侧置信下限. (II) 两个总体方差比σ1

2 / σ2

2 的置信区间 【问题 H0: μ1 = μ2 / μ

1 ?μ

2 =5 / μ1 ≥ μ2 +5】 【解】(I) )

14 (

98 .

1 02 .

2 α t * ? ? (II) σ1

2 / σ2

2 置信区间为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )

7 ,

7 (

02 .

4 89 .

3 , )

7 ,

7 (

1 02 .

4 89 .

3 2 /

2 / α α F F 例36-5. 为比较Ⅰ,Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取Ⅰ型子弹

10 发, 得到枪口速度 平均值为 ) / (

500 1 s m x = , 标准差s1 = 1.10(m/s), 随机取Ⅱ型子弹

20 发, 得到枪口速度平均 值为 ) / (

496 2 s m x = , 标准差s2 = 1.20(m/s). 设两总体都可认为近似服从正态分布. 且由生 产过程可认为它们的方差相等. 求两总体均值差

2 1 μ μ ? 的置信度 0.95 的置信区间. 【解】 (3.07, 4.93). 例36-6. 设一批零件的长度服从正态分布 , 其中μ 和σ ) , (

2 σ μ N

2 均未知. 现从中随机抽 取16 个零件,测得样本均值

20 = x (cm),样本标准差s =1.10(cm),则关于未知参数的置 信度 0.90 的置信区间,下面说法正确的是 ( ). 【C】 (A) 对于σ

2 ,是))15 (

1 .

1 16 , )

15 (

1 .

1 16 (

2 95 .

0 2

2 05 .

0 2 χ χ * * . (B) 对于σ

2 ,是))16 (

1 .

1 15 , )