PPT《一维定态问题》

一维定态问题 §7 一维无限深势阱 在继续阐述量子力学基本原理之前,先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题――一维定态问题.

其好处有四: (1)有助于具体理解已学过的基本原理;

(2)有助于进一步阐明其他基本原理;

(3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细致讨论,量子体 系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来;

(4)一维问题还是处理各种复杂问题的基础. 一维无限深势阱 ;

线性谐振子;

一维势散射问题(势垒贯穿)

(一)一维运动

(二)一维无限深势阱

(三)宇称

(四)讨论

(一) 一维定态薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程

(二)一维无限深势阱 求解 薛定谔方程 分四步: (1)列出各势域的一维S―方程 (2)解方程 (3)使用波函数标准条件定解 (4)定归一化系数 -a

0 a V(x) I II III (1)列出各势域的薛定谔方程 方程可 简化为: -a

0 a V(x) I II III 势V(x)分为三个区域, 用I、II 和III 表示, 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和ψIII (x).则方程为: ?2 ?2 (3)使用波函数标准条件 从物理考虑,粒子不能透过无穷高的势壁. 根据波函数的统计解释,要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零,特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0. -a

0 a V(x) I II III ? ? 1.单值,成立;

2.有限:当x ? - ∞ , ψ 有限条件要求 C2=0. (2)解方程 使用标准条件

3 波函数连续 2)波函数导数连续: 在边界 x = -a,势有无穷跳跃,波函数微商不连续.这是因为: 若ψI(-a)'

= ψII(-a)'

, 则有,0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)=

0 矛盾,二者不能同时成立.所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续. 1)波函数连续: -a

0 a V(x) I II III (1)+(2) (2)-(1) 两种情况: 由(4)式 讨论 状态不存在 描写同一状态 所以 n 只取正整数,即 于是: 或 于是波函数: 由(3)式 类似 I 中关于 n = ? m 的讨论可知: 综合 I 、II 结果,最后得: 对应 m =

2 n 对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态,其上为第一激发态、第二激发态依次类推.由此可见,对于一维无限深方势阱,粒子束缚于有限空间范围,在无限远处,ψ =

0 .这样的状态,称为束缚态.一维有限运动能量本征值是分立能级,组成分立谱. 见p37 (4)由归一化条件定系数 A [小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出,解薛定谔方程的一般步骤如下:

一、列出各势域上的薛定谔方程;

二、求解薛定谔方程;

三、利用波函数的标准条件(单值、有限、连续)确定未知波函数 和能量本征值;

四、由归一化条件定出最后一个待定系数(归一化系数).

(三)宇称 (1)空间反射:空间矢量反向的操作. (2)此时如果有: 称波函数具有正宇称(或偶宇称);

称波函数具有负宇称(或奇宇称);

(3)如果在空间反射下, 则波函数没有确定的宇称.

(四)讨论 一维无限深 势阱中粒子 的状态 (2)n =

0 , E = 0, ψ = 0,态不存在,无意义. 而n = ± k, k=1,2,... 可见,n取负整数与正整数描写同一状态. (1)n = 1, 基态, 与经典最低能量为零不同, 这是微观粒子波动性的表 现,因为 静止的波 是没 有意义的. (4)ψn*(x) = ψn(x) 即波函数是实函数. (5)定态波函数(3)波函数宇称 作业周世勋:《量子力学教程》

第二章 2.

3、 2.

4、 2.8 简单应用:丁二烯的离域效应 每个C原子以sp2杂化轨道形成3个键,剩余一个pz轨道和一个 电子.有两种可能:(1)4个 电子形成两个定域的 键. (2) 4个 电子形成 离域的 键. a a a 势阱 势阱 势垒 E1 3a 势阱 E1 E2 (a) (b) 体系的能量: §2 线性谐振子