PPT《一维定态问题》

(一)引言 (1)何谓谐振子 (2)为什么研究线性谐振子

(二)线性谐振子 (1)方程的建立 (2)求解 (3)应用标准条件 (4)厄密多项式 (5)求归一化系数 (6)讨论

(三)实例

(一)引言 (1)何谓谐振子 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子. 在经典力学中,当质量为 ? 的粒子,受弹性力F = - kx作用,由牛顿第二定律可以写出运动方程为: 其解为 x = Asin(ω t + δ).这种运动称为简谐振动, 作这种运动的粒子叫谐振子. 若取V0 = 0,即平衡位置处于势 V =

0 点,则(2)为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动,任何体系在平衡位置附近的小振动,例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动.简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似,所以简谐振动的研究,无论在理论上还是在应用上都是很重要的. 例如双原子分子,两原子间的势V是二者相对距离x的函数,如图所示.在x=a处,V 有一极小值V0 .在x=a附近势可以展开成泰勒级数: a x V(x)

0 V0 取新坐标原点为(a, V0),则势可表示为标准谐振子势的形式: 可见,一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述.

(二)线性谐振子 (1)方程的建立 (2)求解 (3)应用标准条件 (4)厄密多项式 (5)求归一化系数 (6)讨论 (1)方程的建立 线性谐振子的 Hamilton量: 则Schrodinger 方程可写为 : 为简单计, 引入无量纲变量ξ代替x, 此式是一变系数 二阶常微分方程 (2)求解 为求解方程,我们先看一下它的渐 近解,即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为.在此情况下,λ>

±

1 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件.即:当ξ有限时,H(ξ)有限;

② 当ξ→∞时,H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→

0 将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程: 2. H(ξ)满足的方程 3.级数解 我们以级数形式来求解. 为此令: 用k代替 k'

由上式可以看出: b0 决定所有角标k为偶数的系数;

b1 决定所有角标k为奇数的系数. 因为方程是二阶微分方程,应有两个 线性独立解.可分别令: b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ);

b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ). 即: bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) =

0 从而导出系数 bk 的递推公式: 该式对任意ξ都成立, 故ξ同次幂前的系数均应为零, 只含偶次幂项 只含奇次幂项 则通解可记为: H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2] (3)应用标准条件 (I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 =

1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 =

0 皆有限 (II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 为此考察相邻 两项之比: 考察幂级数exp[ξ2}的 展开式的收敛性 比较二级数可知: 当ξ→±∞时, H(ξ)的渐近 行为与exp[ξ2]相同. 单值性和连续性二条件自然满足, 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论. 因为H(ξ)是一个幂级数,故应考虑他的收敛性.考虑一些特殊点, 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞. 所以总波函数有如........