PPT《第七章 模糊与概率》

第七章 模糊与概率 陶晓燕 本章的主要问题: 模糊和概率的基本知识模糊集合的几何图示模糊集合的大小的表征模糊集合的模糊程度的度量模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系与模糊集合的模糊程度之间的关系

一、模糊和概率的基本知识 1.

是否不确定性就是随机性?概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念? Bayesian camp:概率是一种主观的先验知识,不是一种频率 和客观测量值 Lindley:概率是对不确定性唯一有效并充分的描述,所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似:通过单位间隔[0,1]间的数来表述不确定性,都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配律 区别:对待 .经典集合论,代表概率上不可能的事件.而模糊建立在 考虑两个问题:(1)总是真的吗?(模糊存在吗) 考虑是否逻辑上或实际中有违背"无矛盾定理"的现象(Aristotle的三个'思考定理'之一,另外两个是'排中定理'同一性定理'这些都是非黑即白的经典定理.)模糊(矛盾)的产生,就是西方逻辑的结束(2)是否可以推导条件概率算子 ?经典集合论中 (公理)模糊理论:利用超集 是其子集 的子集程 度来衡量模糊集合A的模糊性,这是模糊集合的特有问题. 2. 随机与模糊:是否与多少模糊是事件发生的程度.随机是事件是否发生的不确定性.例子:明天有20%的几率下小雨(包含复合的不确定性)冰箱里有一个苹果的概率为50%(Probability)冰箱里有半个苹果(Fuzzy)停车位问题 模糊是一种确定的不定性(deterministic uncertainty),是物理现象的特性.用模糊代表不确定性的结果将是震撼的,人们需要重新审视现实模型. 不精确的椭圆 概率上的椭圆还是模糊的椭圆?没有随机性的问题,所以属于模糊问题.可否 ?概率并不能包括所有的问题.概率论是一种有限测量理论.

二、模糊集合的几何图示:sets as points 将论域X的所有模糊子集的集合――模糊幂集合 看成一个超立方体 ,将一个模糊集合看成是立方体内的一个点.非模糊集对应立方体的顶点.中点离各顶点等距,最大模糊.也是唯一满足以下特性的点:(多值连续集合理论) 模糊集合A是单位"二维立方体"中的一个点,其坐标(匹配值)是(1/3,3/4).表明第一个元素x1属于A的程度是1/3,第二个元素x2的程度是3/4.立方体包含了两个元素{x1, x2}所有可能的模糊子集.四个顶点代表{x1, x2}的幂集2X.对角线连接了非模糊集合的补集. 越靠近模糊立方体的中点, A就越模糊.当A到达中点时,所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞).越靠近最近的顶点, A就越确定.当A到达顶点时,全部四个点发散到四个顶点,得到二值幂集合2X.模糊立方体将Aristotelian集合"流放"到顶点处. Proposition: A is properly fuzzy iff iff 完善模糊正方形

三、模糊集合的大小――基数 A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12.(X, In, M)定义了模糊理论的基本测量空间.M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数). 两个模糊集合A和B的 距离: 距离就是如上图所示的欧几里德距离.最简单的距离就是模糊汉明距离 ,它是坐标差值的绝对值之和.利用模糊汉明距离,基数 M可以重写成 距离的形式:

四、模糊集合的模糊程度――模糊熵 A的模糊熵E(A),在单位超立方体In中从0到1,其中顶点的熵为0,表明不模糊,中点的熵为1,是最大熵.从顶点到中点,熵逐渐增大.简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式: 模糊熵定理: 模糊熵定理的几何图示.由对称性,完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等.该定理正式宣告了"西方逻辑"的终止.