DOC《《 数学分析续论 》模拟试题（二）》

《 数学分析续论 》模拟试题

(二) 单项选择题() (1)设 为一数列,对它有.

A.若存在收敛子列,则必收敛;

B.虽存在发散子列,但仍可收敛;

C.若所有子列都收敛,则必收敛;

D.所有子列都收敛,但它们可有不同极限. (2)设在上为一连续函数,则有 A.值域必为一开区间;

B.值域必为一闭区间;

C.为闭区间时,亦必为闭区间;

D.以上A、B、C都不一定成立. (3)若,则,使得当时,必有. A.单调递;

B.;

C.若存在,则A成立;

D.以上A、B、C都不一定成立. (4)设在上可导,则在上必定为. A.既存在最大值,又存在最小值;

B.不能同时存在最大值和最小值;

C.在的点处必取极值;

D.以上A、B、C都不一定成立. (5)已知,这时必有 A.在;

B.不能有无穷多个取负值;

C.取正值的要比取负值的多得多;

D.不能只有有限多个取正值.

二、计算题() 试求下列极限: ①;

②. (2)设.试求. (3)试求由曲线 ,直线,及轴所围曲边梯形的面积 . (4)用条件极值方法(Lagrange乘数法)求内接于椭圆 的长方形的最大面积.

三、证明题() 设在上连续.试证: , 其中分别是在上的最小值与最大值. 利用凸函数方法(詹森不等式)证明: , 其中 为任意正数;

并讨论当为任意负数时,上述不等式应作怎样改变? 证明: . 提示:把上式中的级数看作 . 解答

一、(1)C;

(2)B;

(3)B;

(4)A;

(5)D.

二、(1)[ 解]①;

②(2)[ 解].(3)[ 解 ]所围曲边梯形如右图 所示,其面积为 . (4)[ 解 ]由题意,所求长方形的面积为,其中需满足 , 故此为一条件极大值问题.依据 Lagrange 乘数法,设,并令 (F) 由方程组(F)容易解出: . 据题意,内接长方形的最小面积为零;

故最大面积为.

三、(1)[ 证 ]由闭区间上连续函数的最大、小值定理,,

使得 . 若恒为一常数,结论成立;

现不妨设.再由连续 函数的介值性定理,,

这说明值 域充满了整个闭区间. (2)[ 证 ]设.由于 , 所以在上为一凸函数.根据詹森不等式,对任何正数,恒有 . 而当时,为一凹函数,故对任何负数,恒有 . (3)[ 证 ]由于较难直接求出该级数的部分和,因此无法利用部分和的极限来计算级数的和.此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数在处的值,于是问题转为计算. 不难知道上述幂级数的收敛域为,经逐项求导得到 ;

这已是一个几何级数,其和为 . 再通过两边求积分,还原得 由于这里的,于是求得 .