DOC《《 数学分析续论 》模拟试题（三）》

《 数学分析续论 》模拟试题

(三) 实数完备性问题.

(15分) (

1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理;

(

2 ) 用区间套定理证明单调有界定理. [答(1)]单调有界定理:单调有界数列必定存在极限. 区间套定理:若为一区间套,即满足: ①;

②, 则存在惟一的,. [证(2)]设为递减且有下界的数列,欲证收敛.为此构造区间套如下:令;

记,再令 ……,用逐次二等分法继续做下去,构造得一区间套,使得恒为的下界,而不是的下界. 由区间套定理,,

.下面进一步证明 . 根据区间套定理的推论,时, . 由于恒为的下界,而不是的下界,故对上述,必有;

且因为递减数列,当时满足,于是,这就证得. 同理可证为递增而有上界的情形,请读者自行写出它的证明.

二、(10分) (

1 ) 写出中点集为开集的定义;

(

2 ) 用定义证明:若、都为开集,则并集与交集 亦都为开集. [答(1)]所谓是开集,是指中所有点都是的内点.即,,

满足. [证(2)]设、都为开集,下面证明为开集.为此任取,由,则或.根据开集定义,,

使得,或 ,从而.这就证得为中的一个开集. 类似地可证亦为开集,请读者自行写出它的证明.

三、(10分)已知在区间上连续,且为一一映射.证明:在上必为严格单调函数.(提示:使用反证法,并借助连续函数的介值性.) [证]倘若在上不是严格单调函数,则,使得 , 不失一般性,设.现任取满足,则由连续函数的介值性,,

使得.而这与在上为一一映射的假设相矛盾,所以在上必为严格单调函数. 注意 在函数为连续的前提下,严格 单调与一一映射才是等价的;

而在一般情形下, 一一映射的不一定是严格单调的.例如右 图所示的函数,它在上是一 一映射,但却不是严格单调的.

四、(10分) 设.试求. [解]根据向量函数的导数的定义,容易求得: ,

五、(15分) 证明:在个正数的乘积为定值的条件 之下,这个正数的和的最小值为.并由此结果推出以下不等式: . [证]用Lagrange 乘数法,设,并令 . 由于的最大值不存在,最小值存在,因此 ;

并有 . 以 代入上式,则得所求之不等式

六、积分问题.(20分) 画出曲线 ;

并求由该曲线和直线以及轴 所围图形的面积;

(2)设为连续函数,证明: . [解(1)]为画出曲线,可先改写其方程为 此曲线和直线以及轴所围图形如右图 所示.其面积计算如下: [证(2)]作变换,把原积分化为 由此移项后即得

七、级数问题.(20分) 证明:;

证明:. 提示:利用幂级数 ,. [证(1)]考察级数.由于 , 故此级数收敛.依据级数收敛的必要条件,便证得. [证(2)]考察幂级数.由于 , 因此.从而求得