DOC《上册P314—316 习题解答》

上册P314―316 习题解答 求下列曲线所围的图形面积 : 解D.

S. ⑵ , ;

解D.D关于X轴对称 . S . 解D.S. 解D.S. 解S.⑹叶形线 ;

解S.⑺星形线 ;

解 参陈纪修《数学分析》上册P317图形⑹ , 利用对称性 , 有S.⑻圆的渐开线 ;

解S.⑼Archimedes 螺线 , , ;

解S.⑽对数螺线 , , ;

解S.⑾蚌线 , ;

解S.⑿,;

解圆与心脏线的交点的极角为方程的解 , 即.圆与心脏线的公共部分的面积为 S . ⒀ 双纽线 ;

解 参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑾ , 利用对称性 , 有S.⒁Descartes叶形线 ;

解 参陈纪修《数学分析》上册P319图形 ⒀ . 令,,

代入原方程 , 得, . S =. ( 本题计算涉及下章将要介绍的无穷积分 ). ⒂ ;

解令, , 代入原方程 , 得,.以代替, 或以代替,方程不 , 可见图形上下、左右均对称 . 利用对称性 , 有S.现计算积分. 令,利用上一习题第5题第⑹题的有关结果 ( 解 答在P266 ) ,有.于是 , S . ( 本题计算涉及下章将要介绍的反常积分 ). ⒃ 四叶玫瑰线 . 解 参陈纪修《数学分析》上册P318图形⑽ . 有S. 求由抛物线与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值 . 解 焦点为,不妨设. 过抛物线上横坐标为且在X轴上方的 点与焦点的弦为 ,.即.直接验证知该式对也成立 .该弦与抛物线的两个交点的纵坐标分别为 和.有 于是该弦与抛物线所围图形的面积为 ( 注意下式对也成立 ) . . 令, 注意, 解得唯一驻点. 该问题有最小值 , 因此为最小值点 , 最小值为. 即由抛物线与过其焦点的弦所围的图形的最小面积为. 求下列曲线的弧长 : ⑴ , ;

解.⑵,;

解.⑶,;

解.⑷星形线 ;

解,.由对称性 ( 参陈纪修等编《数学分析》上册P317图⑹ ), 有.⑸圆的渐开线 ;

解,..⑹心脏线 , ;

解.由对称性 , 有. ⑺ Archimedes 螺线 , ;

解. 解.. 上式最后的积分最终表为第二型椭圆积分 ,不能有限表达 . 参阅江泽坚 、吴智泉 、 周光亚等编《数学分析》上册P243―244 . 本题倘为 , . 则计算不会涉及椭圆积分 : . 在旋轮线的第一拱上 , 求分该拱的长度为

1 :

3 的点的坐标 . 解 旋轮线第一拱方程为 参 陈纪修《数学分析》上册P317图形⑸ ). 第一拱上从起点到对应于参数的点 , 相应的弧长为 . 因此 , 第一拱的弧长为 . 令,解得 , ( 或). = . 因此 , 在旋轮线的第一拱上 , 是分该拱的长度为

1 : 3的点 . 求下列几何体的体积 : ⑴ 正椭圆台 : 上底是长半轴为、短半轴为的椭圆 ,下底是长半轴为、短半轴为 的椭圆 , ), 高为;

解 用垂直于高的平面截该立体 , 易见截面是椭圆 设截面椭圆的长、短半轴分别为和, 则有 截面椭圆的面积为 =. 因此该立体的体积为 . ⑵ 椭球体 ;

解 用过X轴上的点 ,且垂直于X轴的平面截该椭球体 , 截面为椭圆 , 截面面积 . 于是注意对称性 , 其体积为 . ⑶ 直圆柱面 和 所围的几何体 ;

解 由对称性 ,该立体的体积为其在第一卦限中的体积的8倍.用过X轴上的点 ,且垂直于X轴的平面截该立体 , 在第一卦限中的截面是一个边长为 的正方形 , 截面面积 . 因此 , 体积为 . ⑷ 球面和直圆柱面所围的几何体 . 解 该几何体在XOZ平面的右侧 , 且关与XOY平面及YOZ平面对称 , 由对称性 , 该立体的体积为其在第一卦限中的体积的4倍.用过X轴上的点 , 且垂直 于X轴的平面截该立体 , 在第一卦限中的截面面积为 . 因此 , 体积为 . 证明以下旋转体的体积公式: ⑴ 设函数连续且,由,所表示的区域绕Y 轴旋转所成的的体积为 Y 证 图中阴影部分曲边梯形绕Y轴旋转所成的 旋转体可视为是内半径为,壁厚为, 高为 的中空圆柱体 , 即为一个内半径为,壁厚为, 高为的圆桶 ,设想沿圆柱体母线剪裁并展开 X 得底边长为 , 高为 , 厚为的立方体 , 体积为 . 因此 , ⑵ 在极坐标下 , 由, 所表示的区域绕极轴旋转所成的 旋转体的体积为 . 证 用常数 , 常数将曲边扇形细分 , 其中 Y , 绕极轴旋转所成旋转体的体积为 小扇形绕极轴旋转所成旋转体的体积为