DOC《石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷》

石景山区2015―2016学年第一次模拟考试试卷 高三数学(文) 本试卷共5页,150分.

考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡. 第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A. B. C. D. 3.设数列是首项大于零的等比数列,则""是"数列是递增数列"的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图所示,已知正方形的边长为,点从点出发,按字母顺序沿线段,,

运动到点,在此过程中的最大值是( ) A. B. C. D. 5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( ) A.B. C.D. 6.函数,的部分图象如图所示,则的值分别是( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线的动弦的中点的横坐标为,则的最大值为( ) A. B.C.D. 8.将数字,,

,,

,书写在每一个骰子的六个表面上,做成枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体,则柱体和的表面(不含地面)数字之和分别是( ) A. B. C. D. 第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.双曲线的焦距是_渐近线方程是_ 10.若变量满足约束条件 则的最大值等于_______. 11.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术".执行该程序框图,若输入的,分别为14,20,则输出的=______. 12.设,,

,则的大小关系是_从小到大排列) 13.已知函数若直线与函数的图象只有一个交点,则实数的取值范围是_ 14.某次考试的第二大题由8道判断题构成,要求考生用画"√"和画"*"表示对各题的正误判断,每题判断正确得1分,判断错误不得分.请根据如下甲,乙,丙3名考生的判断及得分结果,计算出考生丁的得分. 第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题 得分 甲5乙5丙6丁 丁得了_分.

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分) 已知在等比数列中,,

且是和的等差中项. (Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)若数列满足,求的前项和. 16.(本小题共13分) 设的内角,,

的对边分别为,,

,且. (Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)若,求,的值. 17.(本小题共13分) 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为,其范围为,分别有五个级别:畅通;

基本畅通;

轻度拥堵;

中度拥堵;

严重拥堵.晚高峰时段(),从某市交通指挥中心选取了市区个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示. (Ⅰ)求出轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵路段各有多少个;

(Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在,,

的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;

(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽出的6个路段中任取2个,求至少1个路段为轻度拥堵的概率. 18.(本小题共14分) 如图,在直四棱柱中,,

,点是棱上一点. (Ⅰ)求证:∥平面;

(Ⅱ)求证:;

(Ⅲ)试确定点的位置,使得 平面⊥平面. 19.(本小题共14分) 已知函数. (Ⅰ)求函数的极值;

(Ⅱ)证明:当时,;

(Ⅲ)当时,方程无解,求的取值范围. 20.(本小题共13分) 在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设动点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于两点. (Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)的面积是否存在最大值?若存在,求出此时的面积;

若不存在,说明理由. 石景山区2015―2016学年第一学期期末考试 高三数学(文)参考答案

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 B D C A C A B A

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 题号

9 10

11 12

13 14 答案 , (第9题第一空2分, 第二空3分)

三、解答题共6小题,共80分. 15.(本小题共13分) 解: (Ⅰ)设公比为,则,1分 ∵是和的等差中项, 3分 解得或(舍)5分 6分 (Ⅱ), 则.13分16.(本小题共13分) 解:(Ⅰ),由正弦定理得, .……………2分 在中,,

即,4分 6分 (Ⅱ) ,由正弦定理得,8分 由余弦定理,得, .……………10分 解得,13分17.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)由直方图可知: ,,

. 所以这个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个,个,个. .……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知拥堵路段共有个,按分层抽样从个路段中选出个,每种情况分别为:,,

,即这三个级别路段中分别抽取的个数为,8分(Ⅲ)记(Ⅱ)中选取的个轻度拥堵路段为,选取的个中度拥堵路段为,选取的个严重拥堵路段为, 则从个路段选取个路段的可能情况如下: 共种可能, 其中至少有个轻度拥堵的有:共种可能. ∴所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为.13分18.(本小题共14分) 解:(Ⅰ)证明:由直四棱柱, 得∥,,

∴是平行四边形,2分 ∵平面,平面, ∴∥平面 ..……………4分(Ⅱ)证明:∵平面,平面,∴. 又∵,且, ∴平面.7分 ∵平面,9分(Ⅲ)当点为棱的中点时,平面平面. ……………10分 证明如下: 取的中点,的中点,连接交于,连接,如图所示. ∵是的中点,,

∴. 又∵是平面与平面的交线, 平面⊥平面, ∴平面 ..……………12分 由题意可得是的中点, ∴∥且, 即四边形是平行四边形. ∴∥. ∴平面. ∵平面,∴平面⊥平面 .……………14分19.(本小题共14分) 解:(Ⅰ), 令解得, 易知在上单调递减,在上单调递增, 故当时,有极小值 ...……………4分(Ⅱ)令,则,5分由(Ⅰ)知, 所以在上单调递增, 所以, 所以.8分(Ⅲ)方程,整理得, 当时,9分令, 则,10分令,解得, 易得在上单调递减,在上单调递增, 所以时,有最小值,12分 而当越来越靠近时,的值越来越大, 又当,方程无解, 所以.14分20.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)由椭圆定义可知,点的轨迹是以点,为焦点,长半轴长为的椭圆,故曲线的方程为.3分(Ⅱ)存在面积的最大值.4分 因为直线过点, 所以可设直线的方程为或(舍). 由条件得整理得, . 设,其中. 解得,7分则, 则...……………10分设,则, 则在区间上为增函数,所以. 所以,当且仅当时等号成立,即. 所以的最大值为.13分 【注:若有其它解法,请酌情给分】