DOC《《数学分析选论》习题解答》

《数学分析选论》习题解答

第二章连续性设,证明: .

证 由向量模的定义, . . 设到集合的距离定义为 . 证明:(1)若是闭集,,

则;

(2)若( 称为的闭包 ),则.证(1)倘若,则由的定义,,

使得 . 因 ,故,于是必为的聚点;

又因是闭集,故,这就导致矛盾.所以证得. (2).若,则显然成立.若,则(即为的聚点),由聚点定义,,

因此同样有 . 反之,凡是满足的点,不可能是的外点( 若为外点,则存在正数,使,这导致,与相矛盾).从而只能是的聚点或孤立点.若为聚点,则;

若为孤立点,则.所以这样的点必定属于. 综上,证得 成立. 3.证明:对任何,必为闭集. 证 如图所示,设为的任一聚点, 欲证,即亦为的聚点. 这是因为由聚点定义,,

使得 . 再由为的聚点,,

有.于是又有,所以为的聚点,即,亦即为闭集. 4.证明:对任何,必为闭集. 证 如图所示,设为的任一聚点,欲证,即亦为的界点. 由聚点定义,,

使.再由为界点的定义,,

在内既有的内点,又有的外点.由此证得在内既有的内点,又有的外点,所以为的界点,即必为闭集. 5.设,为的任一内点,为的任一外点.证明:联结与的直线段必与至少有一交点. 证 如图所示,把直线段置于一实轴上,并 为叙述方便起见,约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示.下面用区间套方法来证明. 记.若, 则结论成立;

若为的内点,则取;

若为的外点,则取.一般地,用逐次二等分法构造区间套:记( 不妨设),并取 . 此区间套的特征是:其中每个闭区间的左端点恒为的内点,右端点恒为的外点.现设,下面证明. 由区间套定理的推论,,

当足够大时,,

因此在中既含有的内点(例如),又含有的外点(例如),所以上的点必是的界点. 6.证明聚点定理的推论2和推论3. 推论2 中的无限点集为有界集的充要条件是:的任一无限子集必 有聚点. 证 [必要性] 当为有界集时,的任一无限子集亦为有界集,由聚点定理直接 推知结论成立. [充分性] 用反证法来证明.倘若为无界集,则必能求得一个点列, 使得.这个作为的一个无限子集不存在聚点,与条件矛盾.故为有界集. (2)推论3 中的无限点集为有界闭集的充要条件是:为列紧集,即 的任一无限子集必有属于的聚点. 证 [必要性] 因有界,故的任一无限子集亦有界,由聚点定理,这种无限子集必有聚点.又因子集的聚点也是的聚点,而为闭集,故子集的聚点必属于. [充分性] 由上面(1)的充分性证明,已知必为有界集.下面用反证法再来证明为闭集. 的某一聚点,则由聚点性质,存在各项互异的点列,使,据题设条件,的惟一聚点应属于,故又导致矛盾.所以的所有聚点都属于,即为闭集. 7.设.证明: (1);

(2);

(3)若为一一映射,则. 证(1).若;

若.所以,当.这表示 . 反之,.若;

若,于是.这表示,亦即 . 综上,结论得证. (2).因且,故,即,亦即 . 然而此式反过来不一定成立.例如,则有 ;

. 可见在一般情形下,. (3),,

使.当为 一一映射时,只能是,于是,故得 . 联系(2),便证得当为一一映射时,等式成立. 8.设,且.证明: (1)时可逆;

(2). 证设,.利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式,知道 . (1). 当时,由于,因此由,推知 ,即得. (2)类似地有 9.设.试证:若存在证数,对任何满足 , 则在上连续,且一致连续. 证 这里只需直接证明在上一致连续即可. ,对任何,只要满足,便有 . 由于这里的只与有关,故由一致连续的柯西准则(充分性),证得在上一致连续. 10.设.试证:若在点连续,则在近旁局部有界. 证 由在点连续的定义,对于,,