DOC《2015年考研数学一模拟练习题及答案（四）》

2015年考研数学一模拟练习题及答案

(四)

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设,其中是有界函数,则在处( ) (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导 (D)可导 (2)"对任意给定的,总存在正整数,当时,恒有"是数列收敛于的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件;

B) 必要条件但非充分条件;

(C)充分必要条件;

D) 既非充分条件也非必要条件;

(3)设在内可导,且对任意,当时,都有,则( ) (A)对任意 (B)对任意 (C)函数单调增加 (D)函数单调减少 (4)设在区间[]上连续,且(不为常数),由曲线及所围成平面图形绕直线旋转而成的旋转体积为( ) (A) (B) (C) (D) (5)设为矩阵, B为 矩阵, 为 阶单位矩阵, 若,则( ) (A)B) (C)D) (6)设向量组①:可由向量组②:线性表示,则( ) (A)当时,向量组②必线性相关 (B)当时,向量组②必线性相关 (C)当时,向量组①必线性相关 (D)当时,向量组①必线性相关 (7)设随机变量的分布函数 则( ) (A)0 (B)C) (D) (8)设随机变量与相互独立,且是区间是的均匀分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题:9(14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9))设函数具有二阶连续偏导数,,

则(10)微分方程满足条件的解是. (11))曲线在点处的切线方程为. (12)设,则(13)设为3阶矩阵,为线性无关的3维列向量,,

,则的非零特征值为 (14)设随机变量服从参数为1的指数分布,则

三、解答题:15―23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限. (16)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点. (17)(本题满分10分)设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且 证明:在开区间内至少存在一点 (18)(本题满分11分)将函数展开成以为周期的傅里叶级数,并计算. (19)(本题满分11分)求半球面及旋转抛物面所围几何体的表面积. (20)(本题满分10分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化. (21)(本题满分10分)设二维随机变量的密度函数为 求二次曲面为椭球面的概率. (22)(本题满分11分)一个电子仪器由两个部件构成,以和分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知和的联合分布函数为: (1)问和是否独立;

(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率. (23)(本题满分11分)设总体服从正态分布,其中参数已知,未知,是来自总体的容量为的简单随机样本,试问是的无偏估计量吗? 参考答案:

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分(1)D (2)C (3)C (4)B (5)A (6)D (7)D (8)B

二、填空题:9(14小题,每小题4分,共24分(9) (10). (11) (12)13)14)

三、解答题:15―23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限 解: (16)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点. 解:点到面的距离为,故求上距离面的最远点和最近点的坐标,等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点. 令 所以 由(1)(2)得,代入(4)(5)有,解得 或(17)(本题满分10分)设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且 证明:在开区间内至少存在一点 解:方法一:在按泰勒公式展开,得 其中介于0与x之间, 分别令 并结合已知条件,得 两式相减,得 由的连续性,知在闭区间 在[]上有最大值和最小值,设它们分别为M、m. 则有 再由连续函数的介值定理知至少存在一点 方法二:令则 则 由罗尔定理,知又由罗尔定理,知 再由罗尔定理 而 所以 (18)(本题满分11分)将函数展开成以为周期的傅里叶级数,并计算 解:由于是偶函数,所以, 所以 令,则可求出,又 所以 (19)(本题满分11分)求半球面及旋转抛物面所围几何体的表面积. 解:先求两曲面的交线: 由 解得. 因此,我们可以将该曲面分为两部分:和. 它们的面积分别为 则总面积为 (20)(本题满分10分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化. 解:的特征多项式为 = 当是特征方程的二重根,则有 解得. 当时,的特征值为2,2,6, 矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而可相似对角化. 若不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而,解得 当时,的特征值为2,4,4,矩阵秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而不可相似对角化 (21)(本题满分10分)设二维随机变量的密度函数为 求二次曲面为椭球面的概率 解:二次型的矩阵为 设的特征值为,则存在正交矩阵,使得 ,即二次型 所以要使二次曲面为椭球面,必须均大于零或都小于零,又的顺序主子式为,,