DOC《论文编号：K32010025410》

6、等与不等 等与不等既是矛盾的,又是统一的,在一定条件下"等"可推出"不等",反之,"不等"也可引导出"相等".根据题设中的信息适时进行"等"与"不等"的机智转化,可打开解题通道,使问题获解.

7、分与合 辩证唯物主义观点认为,分与合是一种对立统一的关系.在解题中以分求合或以合制分,体现了分合并用的转化统

一、相辅相成的辩证思想.如求面积或体积中用到的割补法.

8、顺与逆 数学中,顺即综合法,逆即分析法.综合法和分析法是对立统一的两个方面,前者由因导果,宜于表达,适合人们的思维习惯;

后者由果索因,利于思考.但是,用分析法解题,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁.而用综合法书写的形式,掩盖了分析、探索的过程,如果直接写,而不用分析法,人们会感到看到明白,自己却做不出.因此,解题时,通常先用分析法探索途径,再用综合法的形式写出解题过程.这正体现出"顺"与"逆"的惊人统一.

9、虚与实 在解决有关复数问题时,通常的方法是复数问题实数化,但对于某些实数问题,若不受实数的限制,构造相关复数,利用复数的性质解题更是简捷明快.

10、有限与无限 客观世界是有限与无限的统一体.我们既可以通过无限来确定有限,也可以借助有限来把握无限,即"从对立面的统一中去把握对立面".如"线面垂直的判定定理"、"数学归纳法"等都是由有限把握无限的极好例证.这些无限总体的有限个体、无限步骤的有限推理、无限过程的有限结果等都是数学科学的精华之所在.

11、特殊与一般 特殊化方法是将所论的数学事实"退"到属于它的特殊状态(数量或位置关系)下进行探索与研究,对一般思路的形成具有很强的启发性.

二、相似类比的统一美 尽管数学知识千差万别,我们仍然清楚地意识到:在作为整体的数学中,使用着相同的逻辑工具,存在着概念的亲缘关系,同时,在它的不同部分之间,也有大量相似之处. 例如,直线方程与等差数列的关系非常密切.有什么形式的直线方程就对应着什么形式的等差数列通项的表达式.

1、斜截式方程 y=kx+b(k斜率,k=,x1≠x2) an=dn+b(d=,d为公差)

2、点斜式 y-y1=k(x-x1) an-ap=d(b-p)(n,p∈N*,p常数)

3、两点式 =(x1≠x2) =(m,k∈n*,且m≠k)

4、截距式 +=1 (ab≠0) +=1 (ab≠0)

5、一般式 ax+by+c=0 an+ban+c=0 又如,一元二次方程,一元二次不等式与二次函数简称"三个二次",它们互相联系,互相渗透,统一成了一个特殊的"知识板块". 我们不习惯放在一起考虑的对象之间不期而遇所产生的美,使人有一种出乎意料的感觉,这也是富有成果的,因为它为我们揭示了以前没有认识的亲缘关系.

三、万能公式的统一美 就统一性的概念在数学中的应用而言,还经常包含有"不变性"的意义,即是指在不同对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的共同规律. 例如,在体积计算中就有所谓的"万能计算公式",它能统一地应用于棱(圆)柱、棱(圆)锥及棱(圆)台的体积计算:V=h(S+S′+)(其中h相应的几何体的高,S和S′则分别为其上、下底面的面积). 又如,在三角函数式的恒等变形中,又有所谓的"万能置换公式":sinx=,cosx=,tanx=;

…(其中u=tan),利用这一公式,我们就可将各种三角函数的有理式统一地转化成tan的代数式. 以上三点充分体现了数学的统一美.我们相信,数学理论越是向前发展,它的结构就变得越加调和一致,并且,这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系.因此,随着数学的发展,它的有机的特性会永存,它的统一美会更清楚地呈现出来. 参阅资料: 《数学方法论入门》 《中学数学》2003第1期 《中学数学教学参考》2003第4期 《中学数学教育学》 联系地址:扬州邗江区蒋王中学