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????? 商高数猜想的完全证明 唐子周 唐世敬 (新疆.

且末县中学 841900) (中国地质大学长城学院071000) 摘要:针对商高数猜想采用反证法,命题转化法,递降法推出了该猜想不成立的必要条件―同余式,只要能证明这些同余式不成立就完全解决了该猜想;

而且,由此给出了商高数猜想成立的完全证明. 关键词: 商高数猜想 ;

勾股数定理 ;

不定方程;

递降法 中图分类号:0151 The complete proof of Pythagorean Numbers' conjecture Tang Zizhou Tang Shi jing n , ( m , n)=1 , m 、 n对于 (mod2)不同余;

得: ,根据假定,两式相减得: ,显然,无论x ,y为任何一对正整数值 , 必对应存在一个整数r的值满足 ①成立;

由可知必存在适当的整数r值满足②也成立 ,否则不成立 ;

r∈Z ,Z是全体整数的集合.同理由 , 两式相减得: . 因而 ③ ,④ , h∈Z ,也就是说无论r ,h的值为正,为负或为零皆可这样表示. 由①*③得⑤由②*④得⑥设r+h=X , rh=Y , 那么必存在一个整数值t使得X=t , t∈Z ,由⑥及第25页中不定方程的定理1, 得, 由⑤得,把, ,代入得: 约去得: , 把t = r+h =代入并化简得: 显然 . 1.2猜想的证明(递降法) 因为, 由根据《初等数论》第49-50页同余的性质,得: 因为 , (b,c)=1,=1;

所以 . 同上理 ,即.因为 , (b,c)=1,=1;

所以 . 同上理 , 即.因为 , (b,c)=1;

所以 . 同上理 , 即.因为 ,(b,c)=1;

所以 …… 如此递(降)推下去可知(可以用数学归纳法证明):当k∈时,若2y22k与2x22k两者之中只要有一个等于0时即终止递降.有,以及 ,即成立. 当x≠y,若2y22k与2x22k两者之中较小者等于0时,必将推出 ,或.当y>x ,k+1=x时, ⑦ 或当x>y ,k+1=y时,⑧由,得,根据同余的性质,得 ,或⑨ 由同余式⑦,⑧,⑨得: 当x>y, k+1=y时⑩当y>x,k+1=x时⑾显然⑩,⑾是当x≠y时,商高数猜想不成立的必要条件;

若⑩式,⑾式本来就不成立,则这样条件下假定不成立商高数猜想成立. 当x≠y,x>y时,若y为偶数, 由, 得成立(是全体正整数的集合). 得.根据《数学猜想集》的定理和26页的结论可以推得: 当时,方程 ,其中表示 等价,是整数, .所以,当时,的x,y,z互素的全部整数解均可表示为 的形式(其中u,v是互素的整数,是各式的最大公因数). 因为a=2mn为偶数 ,,

均为奇数,所以中的只能为奇数,且非平方数,无论为素数还是为合数,皆有 成立,其中>,,

为非负整数. 若,则满足, 的M,N一奇一偶.由《数学猜想集》26页的推理 ,可知当为奇数时M为偶数,,

为奇数,u为偶数,由,得v应为奇数.由得v为偶数,与v应为奇数矛盾.同理,当为偶数时M为奇数,u为奇数,v应为偶数,由得v为奇数,与v应为偶数矛盾. 所以当x≠y,x>y,y为偶数时,假定不成立商高数猜想成立. 若y为奇数、x为偶数,则由⑩式得成立.与上述同理该式不成立,推出了矛盾.所以当x≠y,x>y,y为奇数、x为偶数时,假定不成立商高数猜想成立. 若y为奇数、x为奇数,则由⑩式得 , 则即 得成立.与上述同理该式不成立,推出了矛盾,所以当x≠y,x>y,y为奇数、x为奇数时,假定不成立商高数猜想成立. 同理可证当x≠y、y>x时的情况 ,所以当x≠y时假定不成立,在这样条件下商高数猜想成立. 当x=y且x ,y均为大于2的奇数时: 由得2y22k与2x22k均为0时,2x22k=0,k=x1为偶数,得 ,与勾股数定理1.2.1中的推论c是奇数且大于2矛盾;

则,当x=y且x ,y均为大于2的奇数时假定不成立,那么这样条件下商高数猜想成立. 当x=y且x ,y均为大于2的偶数时:由;