DOC《探索题》

探索题第三期 设是以2为周期的光滑函数,且满足(1) 试用分析的方法证明: (1):设(2): 注:这个问题来源于几何上的事实:我们可以在平面上构造出充分光滑的凸的闭曲线,为所围面积,恰为之周长.

命题(1)在几何上看是显然的,命题(2)就是著名的等周不等式,相当于上每一点处的曲率半径. 证: 时又则时,令 则时, 综上知: 故:成立 证:设 式积分得(分析见后) 成立 等号成立时,为常数. 从 对形式积分可手工积分也可用Mathematica中的Integrate[],即 程序将给你一个简单值,然后你可观察m、n取0或其他整数值上的情况,仿照以上,对其它四式也可用同样的方法取得时,积分值为零,时,值为或0,前取其余取0,m=n=0时值为即前的系数为. 综上: 3)事实上,考虑其几何意义在平面上作出n+1个点其中 可证时,逼近一凸图形且光滑,这就是符合以为曲率半径的曲线.如图:段长,2到其距离为即故0到的距离为仿上可知, 为0到ds的距离. 因其凸,因为可剖分出很多个三角形之和,面积为,相加得S 由此我们可设想,对易知. 当时从图的对称性,我们可想到,从另一边来考虑此问题,也可对称推得