DOC《《数学分析选论》习题解答》

《数学分析选论》习题解答

第三章微分学考察的可导性.

解 写出的分段表达式: 它在时的导数为 而当时,由于,因此在处不可导. 设 若要求在处可导,试求的值. 解 首先,由在处必须连续,得到,或.再由 , , 又得. 设对所有,有,且.试证:在处可导,且. 证 由条件,有,从而又有 , . 由于,因此,故对以上两式分别取的极限,得到 . 于是有,即证得在处可导,且. 证明:若在上连续,且,则存在点,使. 证 如图所示,设.由极限保号性,在点的某一右邻域 内,使,;

同理,在点的某一左邻域内,有,.最后利用连续函数在上的介值性,必定,使. 5.设,它在点可导;

是满足 , 且的任意两个数列.证明: . 证 先作变形: . 由存在,故时,有.又由,故对上述,时,有.从而得到 , . 分别以正数与乘以上两式,并相加,又得到 把它化简整理后,即为 . 从而证得结论: 6.设在上连续,在内可导,通过引入适当的辅助函数,证明: (1)存在,使得 ;

(2)存在,使得 . 证(1)在一般形式的中值定理( 定理3 .

8 )中,令,即得本题结论. (2)把欲证的式子改写成 , 且令,上式即为关于与所满足的一般中值公式. 7.证明推广的罗尔定理:若在上可导,且(包括,则存在,使得. 证 关键在于证明存在两点,使.为此任取一点,使( 这样的点 若不存在,则). 如图所示,设.由于,因此对于,,

当时,满足. 现取,并使.由于 , 借助连续函数的介值性,必存在,使得 . 于是由罗尔定理,存在,使得. 8.证明:若和在上连续,在内可导,且, 则存在,使得. 证令,它在上连续,在内可导,且 .由罗尔定理,存在,使得 , 即.由于,( 根据 和导函数具有介值性,推知恒正或恒复,故严格单调 ),因此可把上式化为结论式 9.设.证明: ,. 证若,则可相继推出:,再由,可知,结论成立.同理,当时结论同样成立. 现设,.利用泰勒公式,,

使.由此得到 于是证得 10.设在上二阶可导,.证明:,使得 . 证 将分别在点与作泰勒展开: =, =, 以上两式相减后得到 . 设,则有 , 于是证得结论: 11.设在上有,且在内存在最大值.证明: . 证 设在取得最大值,则也是一个极大值,故.由微分中值公式得到 , ;

从而又有 , 由此立即证得 12.证明:若存在,在点连续,则在点可微. 证.因在点连续,故的第一部分可表为 (其中);

又因存在,故的第二部分可表为 (其中). 所以有 , 而且由于 , 便证得在点可微. 13.若二元函数与满足:在点连续,在点可微,且,则在点可微,且.证记.由于在点可微,根据定理3.4(必要性),存在向量函数,它在点连续,且满足 由此得到 其中在点连续.仍由定理3.4(充分性),推知在点可微,且因,进一步证得 . 14.设 证明:(1)在原点连续;

(2)在点都存在;

(3)在点不连续;

(4)在点不可微. 证(1)若令,则因 , 可知在处(即在点处)连续. (2) (3)求出 由于当时, 它们都不随而趋于( 随而异 ),因此在点都不连续. (4)倘若在点可微,则 但是当令时, , 所以在点不可微. 15.设可微函数在含有原点为内点的凸区域上满足 . 试证:常数,. 证 对于复合函数 , 由于 因此在极坐标系里与无关,或者说只是的函数( 除原点外 ). 如图所示,的 极角分别为.若,则由上面 讨论知道.若,此时 利用在点连续,当动点分别沿半直线 趋向点时,在 上的常值与在上的常值都应等于.这就证得,即常数,. 16.设二元函数在上有连续偏导数,且.试证:在单位圆上至少有两点满足 . 证 在单位圆上,记.由于连续,故可微,一元函也可微. 已知,由罗尔定理,,