DOC《《数学分析选论》习题解答》

(2)对于,恒有 . 证(1)设,由于,因此为凸函数.故对 ,有,即.(2)设,由于 , 因此在上为凹函数.故对,有,即 27.设为正三角形,各边长为;

为内任一点,由向三边作垂线,垂足为.试求点,使的面积为最大;

并求此最大面积. 解 如图所示,记,,

.因为正三角形,故,所以的面积为 再由,得约束条件为 . 借助Lagrange 乘数法,令 由此求得 (28)在平面上有一个,三边长分别为.以此三角形为底,为高,可作无数个三棱锥,试求其中侧面积为最小者. 解 如图所示,三棱锥的高为.在中,由点作三条边的垂线:,并记.于是三棱锥的侧面积为 ;

而约束条件为 , 其中 由Lagrange 乘数法,设,并令 由此易得 . 根据实际意义,侧面积无最大值,有最小值.上式表示 , 这说明侧面积的最小值发生在三侧面与底面成等角的情形.由此式又可解出 , 此时适为的内心,并求得 其中 29.试用条件极值方法证明不等式: , 其中为正整数,. 证 设目标函数为,约束条件为.用Lagrange 乘数法,令 当动点沿直线无限趋近端点时, ,故是条件最小值.于是有不等式: , 即证得 成立. 30.设;

;

F1) F2) 求在条件(F2)的约束下,目标函数(F1)的最大值;

由以上结果,导出赫尔德不等式: F3) 证(1)设Lagrange 函数为 . 由可解出 . 令,对上式两边取次幂,得;

由条件(F2),又得 . 由此求得 并有 . (F4) 设由(F2)所表示的集合为,的边界为(F2)与的交线.由对称性,只需考虑一种情形.因为 , 所以(F4)所示即为在上的最大值.这就得到 . (F5) 在不等式(F5)中,令,这样的满足条件条件(F2),代入(F5)后,即得赫尔德不等式(F3). 补充说明:赫尔德不等式也可以用凸函数方法(詹森不等式)来求得―― 考虑函数.由于 , 因此在时为凹函数.根据詹森不等式,对于,,

有.取,代入上式得: . 因,故,于是上式左边可化为 . 从而证得 . 显然,此式中交换与,即为(F3). 由于上述只与有关,因此在上一致连续.